Задача нестационарной теплопроводности в зоне вторичного охлаждения

Задача нестационарной теплопроводности в зоне вторичного охлаждения

Технология разливки стали должна обеспечивать стабильность процессов, протекающих в зоне вторичного охлаждения машины непрерывного литья заготовок. Одной из важнейших составляющих развития новых технологий повышения стабильности охлаждающих воздействий является изучение тепловых процессов. Сформировавшийся слиток с затвердевшей оболочкой из кристаллизатора попадает в зону вторичного охлаждения. Происходит резкое изменение условий теплообмена. Интенсивный отвод тепла осуществляется при контакте водовоздушной смеси из распылителей с поверхностью слитка и поддерживающей системой направляющих роликов. В результате форсированного поверхностного охлаждения интенсивно изменяется распределение температур по сечению слитка. Математическое моделирование является эффективным инструментом исследования тепловых процессов, происходящих в зоне вторичного охлаждения.

Для исследования охлаждения непрерывного слитка на криволинейных участках МНЛЗ рассмотрим следующую модель тепломассопереноса [1].

где:

Граничные условия на границе криволинейного участка:

по внутреннему радиусу.

и по внешнему радиусу.

Дополнительные условия.

заготовка сталь тепломассоперенос Здесь:

— угловая скорость движения слитка на криволинейном участке;

внутренний (внешний) радиус криволинейного участка;

— границы раздела фаз.

Решение рассматриваемой задачи Стефана усложняется наличием нелинейности в граничных условиях (3), (4). Основным методом нахождения приближенного решения задачи (1) — (9) является применение различных разностных схем. Но применение разностных схем к этой задаче, в свою очередь, приводит к ряду трудностей. В данной работе для решения задачи (1) — (9) предлагается метод, основанный на сочетании аналитических методов с численными, который оказывается более эффективным.

Заменим задачу (1) — (9) семейством задач, в которых условия (3), (4) заменены на линейные:

Решение задачи использует решение задачи, полученное на предыдущем шаге.

Связь решений задач с решением исходной задачи описывается следующим утверждением:

Последовательность решений задач сходится в к решению задачи (1) — (9).

Для нахождения решения задач воспользуемся методом конечных интегральных преобразований (метод Гринберга [2]).

Решение задачи будем искать в виде Предположим, что функции являются собственными функциями дифференциального оператора.

т.е. являются решением следующей задачи.

Нетрудно проверить, что задача (10) имеет ненулевое решение.

Приведем значения .

Собственные функции оператора являются линейно независимыми функциями. Но тогда для нахождения функций из уравнения (1) получим уравнение.

Соответствующим образом модифицируются граничные условия.

В результате получается аналог задачи Стефана, который решается численными методами.

Разработана программа в пакете Wolfram Mathematica 9.0, результатом работы которой является массив значений температуры заготовки, построена графическая визуализация температурного поля. Предложенный подход и результаты исследований можно использовать для определения предполагаемого решения. Производится, отладка и верификация построенной модели.

• 1. Иванова А. А. Моделирование процесса кристаллизации, идентификация параметров внешнего теплообмена и управление расходами воды в зоне вторичного охлаждения МНЛЗ // ВІСНИК Донбаської державної машинобудівної академії - 2010. — № 1 (18) — С. 127−131.
• 2. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. Учебник для вузов — СПб.: Питер, 2004. -539 с.: ил.