Типичные трудности. 
Выявление и коррекция трудностей у младших школьников при формировании вычислительных навыков

Формирование приемов устных и письменных вычислений одна из важнейших задач обучения математике младших школьников. Большое число ошибок, допускаемое учащимися при решении задач, уравнений, говорит о том, что сформированные вычислительные умения и навыки не являются прочными и осознанными. Ученики делают большинство ошибок в письменных вычислениях с большими числами не потому, что они не знают приемов вычисления, а потому, что они перестают удерживать свое внимание на самом процессе вычисления.

Н.А. Менчинская и М. И. Моро изучили причины ошибок и разделили их на две группы: ошибки в условиях выполнения данной операции или в качестве усвоения арифметического знания. Ошибки, вызванные условиями выполнения операции, являются «механическими» ошибками. Эти ошибки возникают при определенных обстоятельствах: утомление, утрата интереса, волнение, отвлечение внимания, что ведет к ослаблению сознательного контроля учащихся при вычислениях, но это не говорит о незнании или недостаточном усвоении арифметической операции. Выделяют такие ошибки как оговорки, описки; «персеверативные» ошибки (число навязчиво удерживается в сознании, например, 43+7=70), также выполнение действий, несоответствующих знаку. Эти механические ошибки разнообразны и с трудом поддаются объяснению.

Ослабление сознательного контроля в силу утомления проявляется в письменных вычислениях: наблюдается рост ошибок по мере перехода от низших разрядов к высшим. Множество чисел и обилие операций над ними быстро утомляет и рассеивает внимание учащихся.

Вторая группа ошибок связана с недостаточным овладением вычислительными навыками. Если навык вычисления основан на заучивании определенных числовых результатов и если он недостаточно закреплен, то ошибочный ответ бывает различен, а иногда может чередоваться и с правильным ответом. Например, в случае 78 у одного ученика наблюдалось три различных ответа: 54,56,58.

Ошибки, относящиеся к навыкам, основаны на общем правиле. Характер ошибки определяется в этом случае характером усвоения правила, степенью обобщенности правила, в соответствии с которым выполняется операция.

В особую группу ошибок относят ошибки, обусловленные привычкой (привычное действие, привычное обобщение).

Методами борьбы с ошибками можно использовать при «механических ошибках» приемы повышения внимания к арифметическим упражнениям, мобилизации внимания, повышения чувства ответственности.

При возникновении ошибок, основанных на ложном понимании правила, нужно проанализировать ошибку, показать ученику, как она возникла. Нужно стремиться к тому, чтобы ученик осознал ошибку. При возникновении ошибки, которая получена в результате недостаточного закрепления навыка (78=54), нужно дать дополнительное упражнение в слабо закрепленном навыке, что является эффективном методом во избежание дальнейших ошибок [6, с. 99 106].

Дадим описание групп ошибок, выделенных М. А. Бантовой в концентре «Десяток».

• 1. Смешение действия сложения и вычитания (5+2=3, 7−3=10). Ошибки появляются, если учащиеся не осознали действий вычитания и сложения или действий этих знаков. Причиной может быть недостаточный анализ решаемого примера: ученики больше обращают внимание на числа, а не на знаки.
• 2. Ученик получает результат на единицу меньше или больше верного (5+3=9, 6−2=5). Такие ошибки возникают при отсчитывании, либо присчитывании чисел по единице с опорой на натуральный ряд.
• 3. Получение неверного результата вследствие применения нерациональных приемов. Например, 2+5 используют прием присчитывания по единице, вместо приема перестановки слагаемых. Это является трудным приемом в этом примере, т.к. ученики часто забывают, сколько уже прибавили, а сколько осталось прибавить.
• 4. Название или запись на месте результата одного из компонентов (3+4=4, 5−2=5). В данном случае ошибки учащиеся допускают по невнимательности. Важно выполнять прикидку результата во избежание ошибки.
• 5. Ученик получил ложный результат из-за смешения цифр. Посмотрим на запись учащегося: 4+3=8. Выражение выполнено неправильно, хотя при устном счете говорит правильный ответ. При устранении ошибок нужна индивидуальная работа, где ученик будет запоминать цифры.

Далее представим группы ошибок, которые делают младшие школьники при сложении и вычитании в концентре «Сотня», а также возможные приемы их предупреждения и исправления.

• 1. Ученик смешивает приемы вычитания, которые основаны на свойствах вычитания числа на суммы и суммы из числа. Например, 40−26=40-(20+6)=(40−20)+6=16. Чтобы предупредить появление таких ошибок, нужно подобрать аналогичные примеры. Решая их, они будут сравнивать каждый шаг.
• 2. Выполнение сложения и вычитания над числами разных разрядов, как над числами одного разряда. К примеру, учащийся при сложении числа десятков с числом единиц допускает ошибку (56+4 = 96). Чтобы предупредить ошибки, необходимо обсуждать неправильные решения. Учитель может предложить примеры учащимся, которые решены неверно, и попросить их найти ошибки.
• 3. Ошибки, допущенные в табличных случаях вычитания и сложения, входящие в качестве операций в более сложных примерах на вычитание и сложение. К примеру, 27+18=46. Для предотвращения ошибок необходимо обращать внимание на освоение учениками таблиц сложения и вычитания, особенно к случаи с переходом через десяток.
• 4. Ошибки, в которых получен неправильный результата из-за пропуска операций, которые входят в прием, а также когда ученик выполняет лишние операции. К примеру, 55+30=88, 43−10=30. Ошибки учащиеся допускают вследствие невнимательности. Для их устранения необходимо использовать проверку решения примеров.
• 5. Смешение действий вычитания и сложения. Например, 36+20=16. Ученик допускает ошибку в результате невнимательности. Для их устранения необходимо использовать проверку решения примеров.

Опишем группы ошибок в концентре «Сотня» при выполнении умножения и деления.

• 1. Выделение ошибок в результате нахождения умножения сложением.
• А) Ошибки, допущенные в ходе вычисления суммы одинаковых слагаемых: 39=28. Ученик, выделяя сумму нескольких слагаемых, допустил ошибку в сложении.
• Б) Ошибки, допущенные при установке числа слагаемых: 76=35. Ученик нашел сумму не шести, а пяти слагаемых, каждое из которых 7.
• В) Ошибки, допустимые вследствие непонимания смыслов компонента умножения: 69=51. Ученик взял число 6 слагаемым 10 раз, и получил 60, а затем вычел из 60 число 9, а не 6.
• 2. Ошибки, обусловленные трудностями запоминания результатов умножения. Трудные случаи:
  • А) произведения чисел, больших пяти: 67, 68, 77 и т. д.
  • Б) произведения с равными значениями: 29 и 36
  • В) произведения, значения которых близки в натуральном ряду: 69=54

Для предотвращения ошибок в трудных случаях необходимо эти случаи включать в устные упражнения и письменные работы.

• 3. Действия деления и умножения смешиваются (63=2, 9:3=27). Ошибки возникают вследствие невнимательности учеников. Для их устранения необходимо использовать проверку решения примеров.
• 4. Смешение случаев деления и умножения с числами 1 и 0, к примеру, 50=5, 0:4=4, 21=0. Для предупреждения ошибок поможет упражнение на сравнение смешиваемых случаев.
• 5. Смешение приемов внетабличного деления и умножения с приемом сложения. Например, 473=77, 36:3=16. Для устранения ошибок необходимо использовать в сравнении примеры 164 и 16+4.
• 6. Смешение приемов внетабличного деления, к примеру, 66:33=22. Для предупреждения ошибок необходимо предложить решить одновременно примеры: 66:33 и 66:3, после чего сравнить сами примеры и приемы их вычисления. Полезно проводить обсуждения неверно решенных примеров, рассмотреть допущенную ошибку.
• 7. Учащиеся допускают ошибки в табличных случаях деления и умножения, входящие в случаи внетабличного деления и умножения. К примеру, 193=(10+9)3=103+93=30+24=54. Для устранения таких ошибок необходима индивидуальная работа с учениками, которые допустили ошибку.
• 8. Ошибки при делении с остатком, обусловленные неверным введением числа, которое делят на делитель. Например: 65:7= 8 (ост.9). Ученик делил на 7 не 65, а 56, поэтому получил неверное частное и остаток, который больше делителя.

Перечислим группы ошибок в концентре «Тысяча. Многозначные числа» при выполнении сложения и вычитания.

• 1. Ошибки, вызванные неправильной записью примеров при письменном сложении и вычитании. Например: при сложении столбиком 546+43=978.
• 2. Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, а при вычитании — единиц, которые занимали. Например, 539+225=754, 692−427=275. Для устранения таких ошибок необходимо решать подобные примеры.
• 3. Ошибки в устных приемах сложения и вычитания чисел больших ста (540 300, 1 600 800).

Представим группы ошибок в концентре «Тысяча. Многозначные числа» при выполнении умножения и деления.

• 1. Ошибки в письменном умножении на двухзначное и трехзначное число, обусловленные неправильной записью неполных произведений: 56 432= 2820. Неправильная запись умножения, второе произведение нужно записывать под десятками. Во избежание ошибки необходимо просить объяснение решения примера у учеников.
• 2. Ошибки в подборе цифр частного при письменном делении
• А) Получение лишних цифр в частном. Например, 1508: 26= 418. Ученик разделил не 130 десятков на 26, а 104 десятка, вследствие чего получил остаток 46, который можно разделить на делитель, что он и сделал, получив лишнюю цифру в частном. Для предотвращения ошибок необходимо, чтобы ученики начинали деление с установления числа цифр частного, это и будет прикидка результатов.
• Б) Пропуск цифры нуль в частном. Например, 30 444:43=78. Для предотвращения ошибок необходимо, чтобы ученики начинали деление с установления числа цифр частного, это и будет прикидка результатов.
• 3. Ошибки, вызванные смешением устных приемов умножения на двухзначные разрядные и неразрядные числа. Например: 3420=408 (умножили 34 на 2, затем 34 умножили на 10 и сложили полученные произведения 68 и 340). Умение выполнять проверку решения способом прикидки результата и, опираясь на связь между компонентами и результатом умножения, поможет ученикам выявить ошибку.
• 4. Ошибки, обусловленные смешением устных приемов деления на разрядные числа и умножения на двузначные неразрядные числа. Например, 420:70=102. Ученик по аналогии с умножением на двузначное неразрядное число выполнил деление так: разделил 120 на 10, затем 420 разделил на 7 и полученные результаты 42 и 60 сложил. Для предупреждения таких ошибок надо сравнить приемы для соответствующих случаев деления и умножения (420:70 и 4217) и установить различия (при делении на разрядные двузначные числа — делим на произведение, а при умножении на двухзначные неразрядные числа — умножаем на сумму). Полезно проанализировать так же примеры с ошибкой. школьник вычислительный обучение
• 5. Ошибки при письменном умножении и делении в табличных случаях умножения и деления. Такие ошибки возникают в результате невнимательности, либо из-за слабого знания таблицы умножения. Для устранения таких ошибок необходимо проводить индивидуальную работу, заучивать таблицу умножения, включать случаи умножения и деления устные упражнения.
• 6. Ошибки, обусловленные невнимательностью учеников: пропуск отдельных операций (7200:9=8, 90 007=63), смешение арифметических действий (320:80=25 600). Для устранения ошибок необходимо анализировать примеры до их решения, и проверять решение примеров.

Таким образом, можно выделить ряд методических приемов для предупреждения по устранению ошибок в вычислениях учеников:

• 1. Для предупреждения смешения вычислительных приемов следует выполнять под руководством учителя их сравнение, выявляя при этом существенное различие в смешиваемых приемах.
• 2. Чтобы предупредить смешение арифметических действий, надо научить учеников анализировать сами выражения и их значения.
• 3. Предупреждению и устранению ошибок помогает обсуждение с учениками неверных решений, в результате чего выявляется причина ошибок.
• 4. Для выявления ошибок и их устранения самими учениками надо научить детей выполнять проверку вычислений соответствующими способами и постоянно воспитывать у них эту привычку [3, с. 58 61].

Таким образом, можно выявить, что места, в которых ученики делают ошибки, являются трудными и для их предотвращения необходимо проработать их самостоятельно, проанализировав с учителем на подобных примерах. Группировка ошибок по концентрам помогает сориентироваться в случае ошибки и подобрать нужные приемы для предотвращения ошибок учеников в будущих работах.