Метатеория множеств. 
Философские проблемы науки и техники

Первые успехи теоретико-множественного направления были связаны с выработкой Э. Цермело в 1908 г. довольно удачной аксиоматики теории множеств, позднее, в 1922 г., усовершенствованной А. Френкелем^[1][2]. Казалось, что таким путем можно раз и навсегда избавиться от парадоксов теории множеств. Но теоремы Гёделя о неполноте и непротиворечивости выявили ограничительные возможности данной теории. Целый ряд неожиданностей оказался также связан с аксиомой выбора и континуум-гипотезой.

Аксиома выбора гласит, что для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует (по меньшей мере одно) множество б/, которое имеет только один общий элемент с с каждым из множеств b данного семейства. В соответствии с континуум-гипотезой всякое бесконечное подмножество множества мощности континуума либо равномощно множеству натуральных чисел, либо имеет мощность континуума (мощность континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел).

Проблема состояла в том, чтобы выяснить, возможно ли доказать либо опровергнуть средствами теории множеств аксиому выбора и континуумгипотезу. Ясность в эту проблему была внесена лишь в 1963 г. 1, в первую очередь благодаря работам К. Гёделя и П. Коэна.

Было доказано, что в аксиоматике Цермело — Френкеля аксиома выбора и континуум-гипотеза, а также отрицание обоих положений неразрешимы. Это означает, что если аксиомы Цермело — Френкеля непротиворечивы, то к ним можно добавить либо одно из рассматриваемых утверждений, либо оба, а также либо отрицание одного из положений, либо отрицание обоих. Можно вообще отказаться от аксиомы выбора и континуум-гипотезы, но в таком случае теория множеств обедняется. Допустимо в систему аксиом Цермело — Френкеля включить аксиому выбора и отрицание континуум-гипотезы или же отрицание аксиомы выбора и континуум-гипотезу. Существуют и другие способы построения аксиоматической теории множеств, не упомянутые нами. Вывод из сказанного, особенно если учесть, что аксиоматика Цермело — Френкеля не является единственной, очевиден: возможен целый ряд различных теорий множеств. Как видим, математики также вынуждены иметь дело с плюрализмом теорий.

• [1] Вместо метатеории множеств и метатеории категорий часто говорят соответственноо теоретико-множественном направлении и теоретико-категориальном направлении.
• [2] Существует немало вариантов аксиом теории множеств. Исторически случилось так, что пальму первенства у системы ZF (Цермело — Френкель) оспаривает система NBG (Нейман — Бернайс — Гёдель). В системе NBG по сравнению с системой ZF используетсяпонятие класса. X является классом, если X представляет собой совокупность всех объектов, обладающих некоторым свойством.