Возбуждение электромагнитных волн

С математической точки зрения задачи о возбуждении электромагнитных волн заданными источниками сводятся к решению системы неоднородных уравнений Максвелла. Область существования стороннего тока выступает как источник излучения.

Уравнения Максвелла для области, содержащей источники. Неоднородные волновые уравнения

Уравнения Максвелла в комплексной форме имеют вид.

Из закона сохранения заряда следует: Определим дивергенцию уравнения (8.1):

Из уравнения (8.4) получим.

Выразим из уравнения (8.2).

и подставим в уравнение (8.1):

Теперь из уравнения (8.1) выразим.

Подставим в уравнение (8.2).

Учитывая, что div Н = 0, получим.

Уравнения (8,6) и (8.7) называются векторными уравнениями Даламбера. На основании уравнений Даламбера основная задача электродинамики для области, содержащей источники, сводится к отысканию напряженностей Е и Н по заданному распределению сторонних токов J_CT и зарядов р_ст.

Электродинамические потенциалы

Как и в теории стационарных полей, в электродинамике используются различные скалярные и векторные функции. Рассмотрим применение известных потенциалов, А и ф. Только зададим их в комплексной форме, принимая за ф, А комплексные электродинамические потенциалы. Тогда.

Подставим уравнение (8.8) в уравнение (8.2):

Далее на основании тождества rot grad ф = 0 запишем.

Уравнения (8.8) и (8.9) дают возможность определить комплексные векторы поля исходя из электродинамических потенциалов. Выведем уравнения второго порядка для электродинамических потенциалов. Подставим выражения для ЕиН (8.8,8.9) в первое уравнение Максвелла (8.1):

Проведем преобразования:

Получим.

Наложим дополнительное условие.

Данную калибровку называют лоренцевой. В результате получим.

Установим связь между векторным и скалярным потенциалами.

Подставим ф из уравнения (8.10) ф =-div А в уравнение (8.9):

jcoep.

Видно, что ЕиН определяются через А посредством выражений (8.8) и (8.12).

Теперь получим уравнение второго порядка для ср.

Выражаем из уравнения (8.8) А и подставляем в калибровку уравнения (8.10). Получаем.

Если решается статическая задача, т. е. к = 0, со = 0, то уравнения (8.11) и (8.13) упрощаются:

Когда мы пренебрегаем временем распространения, т. е. Уф —"со, то^[1]

Таким образом, динамические задачи сводятся к стационарным. Уравнения Даламбера превращаются в уравнения Пуассона, а лоренцева калибровка — в кулоновскую. Это утверждение эквивалентно условию / X — расстояние между объектами или их длина гораздо меньше длины волны.

• [1] 2(p = -JCT.