Законы упругого изменения объема и формы тела

Закон изменения объема тела.

Рассмотрим относительное изменение элементарного объема dV в процессе деформации тела (рис. 20.14). До деформации dV= dxdydz, после деформации dV+ Ad V = (dx + Adx)(dy + Ady) x x (dz +Adz) = dxdydz (l +e_x)(l +z_y)^x x (1 + e_), где e_x = Adx/dx и т. д.

Относительное изменение объема Пренебрегая произведением деформаций ес ~ 0, получаем.

В выражении (20.30) выразим деформации через напряжения по закону Гука (20.29):

с_х+о +а Введем среднее напряжение о =--г— и среднюю дефор;

г_х+г +г ³

мацию е_ср =-j-. Тогда относительное изменение объема по выражениям (20.30) и (20.31) можно записать в виде.

Приравнивая два последних выражения, получаем выражение закона изменения объема тела при упругой деформации.

где К = А/( 1 — 2р) — объемный модуль упругости.

Относительное упругое изменение объема тела равно сумме линейных деформаций и пропорционально среднему напряжению.

Тензор напряжений в окрестности любой точки тела можно представить в виде суммы двух тензоров (рис. 20.15): шарового тензора и тензора-девиатора:

Тензор напряжений Т_а = шаровой тензор + тензор девиатор т?.

Рис. 20.15. Разложение тензора напряжений на шаровой и девиатор.

Шаровой тензор отвечает за изменение объема тела, следовательно, девиатор напряжений отвечает за изменение формы тела Тензор деформаций также можно разложить на шаровой тензор и тензор-девиатор:

Тензор деформаций Т_€ = шаровой тензор Г_?° + тензор-девиатор Т_?°.

Любой тензор второго ранга можно разложить на шаровой тензор и тензор-девиатор.

В матричном виде закон изменения объема тела примет вид.

Для тензора-девиатора, как и для любого тензора второго ранга, можно определить собственные числа и спектр собственных векторов, найти инварианты (коэффициенты характеристического (векового) уравнения): е^ъ — 1_хе² + 1₂е— /₃ = 0, где е — собственное число любого тензора второго ранга, /₂, /₃ — инварианты тензора второго ранга.

В теории пластичности используют второй инвариант девиаторов напряжений и деформаций:

Закон изменения формы тела.

Этот закон связывает девиаторы напряжений и деформаций, отвечающие за изменение формы. Найдем связь между отдельными компонентами этих девиаторов:

^ г Е 1 + р 1.

С учетом G = ——г находим —— = ——, тогда связь компонен- 2(1 + р) Е 2G

тов двух девиаторов можно записать в виде шести уравнений:

Та же связь в матричном виде:

Формулировка закона изменения формы тела: девиатор напряжений пропорционален дев и, а тору деформаций.