Фазовые портреты и типы особых точек
Замкнутым фазовым траекториям соответствуют незатухающие колебания (периодические режимы). Однако эти колебания не являются автоколебаниями, так как их амплитуда зависит от начальных условий и они не являются асимптотически орбитально устойчивыми. Из уравнения (2.7) следует, что рассматриваемая система имеет одну особую точку в начале координат. В зависимости от вида фазового портрета… Читать ещё >
Фазовые портреты и типы особых точек (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Фазовые портреты нелинейных систем характеризуются большим разнообразием, чем фазовые портреты линейных систем. Однако типы особых точек линейных и нелинейных систем совпадают. Здесь имеются в виду те особые точки, в окрестностях которых уравнения нелинейных систем допускают линеаризацию.
Фазовые портреты и типы особых точек линейных систем.
Пусть линейная система второго порядка описывается уравнением 
или, в нормальной форме,.
Решение, фазовый портрет и типы особых точек зависят от корней характеристического уравнения.
Из уравнения (2.7) следует, что рассматриваемая система имеет одну особую точку в начале координат. В зависимости от вида фазового портрета в окрестности особых точек последние подразделяются на различные типы.
В табл. 2.1 приведены временные характеристики, фазовые портреты и типы особых точек при различных корнях характеристического уравнения.
Таблица 2.1.
Когда корни характеристического уравнения являются чисто мнимыми, фазовые траектории являются эллипсами или окружностями, т. е. они являются замкнутыми.
Рис. 2.6. К определению устойчивости особой точки типа центр.
Замкнутым фазовым траекториям соответствуют незатухающие колебания (периодические режимы). Однако эти колебания не являются автоколебаниями, так как их амплитуда зависит от начальных условий и они не являются асимптотически орбитально устойчивыми.
Положение равновесия, соответствующее особой точке типа центр, является устойчивым по Ляпунову. Действительно, по заданному е можно выбрать нужное 8 (см. определение 2.3) следующим образом. В качестве 8 выбирается любое положительное число, меньшее или равное половине длины меньшей оси эллипса, касающегося изнутри окружности радиуса ? (рис. 2.6).