Доверительные интервалы и доверительные вероятности

Теоремы 1 и 2 из предыдущего параграфа, хотя и являются общими, т. е. сформулированными при достаточно широких предположениях, не дают возможности установить, насколько близки оценки к оцениваемым параметрам. Из факта, что оценки являются состоятельными, следует только то, что при увеличении объема выборки значение вероятности Р (|0* -0| 0, приближается к 1.

Вместе с тем, при практической работе возникают следующие вопросы.

1. Каким должен быть объем выборки п, чтобы заданная точность.

|в* - 0| = б была гарантирована с заранее принятой вероятностью?

• 2. Какова точность оценки, если объем выборки известен и вероятность безошибочности вывода задана?
• 3. Какова вероятность того, что при заданном объеме выборки будет обеспечена заданная точность оценки?

Чтобы дать ответы на эти вопросы, введем несколько новых определений.

Определение 6. Вероятность у выполнения неравенства |0* - в| < б называется доверительной вероятностью или надежностью оценки 0*.

Перейдем от неравенства |0*-0|<�б к двойному неравенству. Известно, что |0* - 0| < б ~ 0* - б < 0 < 0' + б. Поэтому доверительную вероятность можно записать в виде Так как 0 (оцениваемый параметр) — число постоянное, а 0'- величина случайная, то понятие доверительной вероятности можно сформулировать так: доверительной вероятностью у называется вероятность того, что интервал.

(0* - б, 0* + б) накрывает оцениваемый параметр.

Определение 7. Случайный интервал (0* - б, 0* +б), в пределах которого с вероятностью у находится оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом /, соответствующим коэффициенту доверия у:

Надежность оценки у может задаваться заранее. Тогда, зная закон распределения изучаемой случайной величины, можно найти доверительный интервал /. Решается и обратная задача, когда по заданному I находится соответствующая надежность оценки.

Пусть, например, у = 0,95, тогда число р = 1 — у = 0,05 показывает, с какой вероятностью заключение о надежности оценки ошибочно. Число р = 1 — у называется уровнем значимости. Уровень значимости задается заранее в зависимости от конкретного случая. Обычно р принимают равным 0,05: 0,01; 0,001.

Выясним, как построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака. В теории вероятностей показано, что.

Оценим математическое ожидание с помощью выборочной средней Х_в, учитывая, что Х_в также имеет нормальное распределение. Имеем.

а по формуле для нормального распределения получаем.

Тогда, с учетом дисперсии среднего, имеем.

Для удобства пользования таблицей функции Лапласа положим ~ $.

тогда или.

Интервал.

накрывает параметр щ = р = М (Х) с вероятностью у •.

При обработке эмпирических данных в большинстве случаев среднеквадратическое отклонение а (Х) исследуемого признака неизвестно. Поэтому вместо ст (Х) при большой выборке (п > 30) применяют исправленное выборочное средне квадратическое отклонение s, являющееся, в свою очередь, оценкой о (Х), причем полагают В этом случае доверительный интервал.

Vn-1.

будет иметь вид.

Пример. С вероятностью у = 0,95 найти доверительный интервал для случайной величины — нормы прибыли фирмы. Распределение данной величины по наблюдавшимся значениям задается таблицей, в которой вместо интервалов изменения (х_/(х_м) взяты числа (X, + х_м)/2, выраженные в процентах. Считать, что случайная величина нормы прибыли X подчинена нормальному распределению.

Решение. Поскольку выборка большая (л = 50), то можно использовать выборочное среднеквадратическое отклонение нормы прибыли как характеристику распределения. Тогда имеем.

Используя полученные оценки, найдем точность оценки, отвечающую доверительной вероятности 0,95. Для входа в таблицу Лапласа, с учетом симметрии распределения, имеем

Теперь можно определить величину относительной погрешности.

Наконец определяем границы доверительного интервала.

Таким образом, с надежностью у = 0,95 математическое ожидание нормы прибыли заключено в доверительном интервале / = (9,5%; 10,3%).

Итак, в случае нормальности распределения показателя и достаточном объеме выборки (п > 30), когда исправленное среднеквадратическое отклонение незначительно отклоняется от среднеквадратического отклонения значения признака в генеральной совокупности, можно найти доверительный интервал. Но получить большую выборку удается не часто, да это не всегда и целесообразно. Вместе с тем из соотношения (24) видно, что чем меньше л, тем шире доверительный интервал, т. е. / зависит от объема выборки п. Иначе говоря, достоверность выводов по эмпирическим данным существенно определяется их объемом.