Функция 0. Введение в теорию функций комплексного переменного

Поставим задачу ввести в рассмотрение вместо функции о (z) другую целую функцию б, имеющую период 2а>. С этой целью добавим к функции о (г) показательный множитель.

и. пользуясь соотношениями (32), выберем числа а и b так, чтобы новая функция? (г) имела период 2<�о.

Вследствие (32), мы имеем:

и аналогично получаем:

Чтобы обратить правую часть формулы (60) в 1, положим:

Тогда, пользуясь соотношением Лежандра (31), формуле (61) придадим вид:

где положено:

Итак, для функции

имеют место равенства:

Так как «р (г) есть целая функция с периодом 2и>, то для неё, в силу предыдущего пункта, имеет место разложение вида:

С другой стороны, добавление к г числа 2а>' равносильно добавлению к v числа т = — или умножению х на

и вторая из формул (64) даёт нам.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим: иди

Отсюда мы видим, что выражение.

должно сохранять одно и то же значение при всех целых значениях п. Полагая.

где С—некоторая постоянная, будем иметь: и, следовательно,

Функция же с (*), согласно формуле (63), примет ьид:

Сопоставляя две последние формулы, мы естественно приходим к введению новой функции

которая связана с о (г) следующим соотношением:

Остаётся определить постоянную С. Для этого заметим, что z = 2cov, в силу последней формулы б (0) = 0, и, значит, —— стремится к д' (0), когчз v -*? 0.

Деля обе части формулы (68) на z и устремляя затем z к нулю, получим: 2о) отсюда С= 0,^ и, значит,

Преобразуем теперь степенной ряд (67) для функции б (v) в тригонометри-, ческий ряд. С этой целью, обозначая через у положительное нечётное число сначала положим:

^v -f-1.

откуда п = —^ «^{а затем}

_ v-L 1.

откуда я =-y—, после чего формула (67) переписывается в виде:

где суммирование в каждой из сумм производится по нечётным положительным значениям v. Заметив, что.

и.

мы придадим предыдущей формуле для 0 (v) следующий вид; или.

Эта функция б (v) есть нечётная целая функция, которая для своего.

'.

построения требует знания числа т = —, лежащего в верхней полуплоскости, причём q = e?**. Поэтому её иногда обозначают б (и; т). Очевидно, ряд (70) быстро сходящийся, так как |?|< 1.