Замечательные пределы. 
Анализ определения математической функции

1. Первый замечательный предел.

.

2. Второй замечательный предел.

.

где иррациональное число, как и представимое «бесконечной» десятичной дробью. С точностью до второго десятичного знака .

3. Третий замечательный предел.

.

Здесь используется, так называемый, натуральный логарифм, то есть логарифм, основанием которого является только что введенное число e. Следует заметить, что в высшей математике чаще всего используют именно эти логарифмы.

4. Четвертый замечательный предел.

.

Здесь вводится новая показательная функция с основанием e, чаще всего называемая экспонентой.

Непрерывность функции в точке и на интервале

Введем несколько определений непрерывной функции в точке.

Определение 2. Функция непрерывна в точке, если.

.

Поскольку оба определения предела функции эквивалентны, эти два определения непрерывной функции также следуют одно из другого.

Покажем, что это определение следует из первого, а следовательно, и из второго, используя свойство пределов.

.

Значение предела равно, что следует из первого определения непрерывности функции,, так как не зависит от. Итак,.

.

Определение 4. Функция непрерывна в точке a, если.

.

Справедливость этого определения следует из того, что предел функции существует, если левый предел равен правому, но если это так, то четвертое определение эквивалентно первому.

Определение 5. Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Непрерывную в некоторой области функцию можно изобразить, не отрывая карандаша от бумаги.

Свойства непрерывных функций

• 1. Сумма непрерывных в некоторой области функций непрерывна в этой области.
• 2. Произведение непрерывных функций — есть функция непрерывная.
• 3. Частное непрерывных функций — есть функция непрерывная, кроме точек, в которых ее знаменатель обращается в нуль.

4. Непрерывная функция от непрерывной функции — есть функция непрерывная (непрерывность сложной функции). Например, функции и непрерывны всей на числовой оси, следовательно, сложная функция (функция сложного аргумента) — непрерывна при всех значениях x.

Очевидно, элементарные функции непрерывны в области существования.

Точки разрыва функции

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва, или особыми точками. В этих точках происходит разрыв графика функции.

Разрывы бывают конечными (разрыв первого рода), если левый и правый пределы функции конечны, но не равны, то есть.

Разрывы бесконечны (разрыв второго рода), если левый, или правый, или оба предела равны .

Устранимые разрывы имеют место, когда левый и правый пределы конечны и равны, но функция в предельной точке не существует. Разрыв устраняется введением новой функции, совпадающей с прежней во всех точках области, кроме особой точки, но являющейся непрерывной и в точке, где первая функция имеет особенность. Например, дана функция. Очевидно, она непрерывна на всей числовой оси, кроме точки, поскольку в этой точке происходит не допускаемое в математике деление на 0. Введем функцию.

.

Эта функция совпадает с функцией при всех, но является определенной и в точке 0, более того, она непрерывна везде, в том числе и в точке 0, что следует из первого замечательного предела.

Замечание. Непрерывность функции нескольких переменных определяется аналогично, первое определение, например, принимает вид.

.

Следует при этом отметить, что для функции многих переменных могут существовать не только точки разрыва (особые точки), но и линии, поверхности разрыва.

Примеры.

1. Функция.

имеет точку разрыва 0.

2. Функция.

существует во всех точках плоскости, кроме прямой.

.

эта прямая является линией разрыва функции.

3. У функции.

поверхностью разрыва является сфера.

.

4. Функция.

имеет особую точку .

Непрерывность составных функций

Рассмотрим функцию, заданную следующим образом.

.

Поскольку функции, (прямые), (парабола) непрерывны на всей числовой оси, а следовательно, и на указанных интервалах, заданная функция может иметь разрывы только в точках стыковки указанных функций, то есть при и. Исследуем поведение функции в окрестности каждой из этих точек, используя определение непрерывности функции с использованием левого и правого ее пределов. Функция непрерывна при, если выполняется условие.

.

Проверим его.

.

Проверим функцию при .

.

Условие непрерывности в этой точке не выполняется, функция имеет конечный разрыв. График.