Вывод дихотомической модели Раша

В целях иллюстрации желательно было бы рассмотреть пример из области образования, например измерение уровня подготовленности испытуемого на основе результатов тестирования. Однако здесь возникают трудности интерпретации при расширении контекста тестирования. Например: что такое повторное решение испытуемым тестового задания одной и той же трудности? Если это одно и то же задание, то необходимо предположить, что испытуемый не будет помнить свой предыдущий ответ на это же задание. Это маловероятно, скорее всего, испытуемый будет давать один и тот же ответ на одно и то же задание. Выбрать же задания с идентичной трудностью крайне сложно. Чтобы не отвлекаться на эти аспекты, которые в конечном счете не принципиальны для вывода модели Раша, рассмотрим модельный пример из области спорта, а именно прыжков в высоту.

Постановка задачи

Прыгуны в высоту, различающиеся по уровню своей подготовленности, пытаются взять различные высоты. Полученные результаты фиксируются в матрице данных. Для любого, например, и-го прыгуна (п = 1,2,…, N), пытающегося взять z-ю высоту (г = 1, 2, L), возможны два исхода: высота взята (х_ш =1), высота нс взята (x_ni = 0). Таким образом, попытки гг-го прыгуна преодолеть вес L высот можно представить в виде вектора (1,1, 0, 1,0), где «1» обозначает успешную попытку, «0» обозначает неудачную попытку, а «-» обозначает то, что прыгун пропустил данную высоту.

Для каждого прыгуна можно подсчитать общее число успехов R_n = ^x_nj (суммирование единиц в векторе прыгуна). Если же уча;

п

стники соревнований «пропускают» некоторые высоты, то с помощью этой статистики невозможно сравнить их по уровню подготовленности.

Аналогично каждая i-я высота, которую пытались преодолеть прыгуны, представляется в виде вектора, состоящего из «1», «0» и «-», и характеризуется общим числом успешных попыток (числом «1») S_i = Yj^xni- И опять же, если не все прыгуны используют по- i

пытки на всех высотах, невозможно сравнить высоты по их относительной трудности.

Однако чтобы использовать эту статистику для сравнения прыгунов, необходимо, чтобы все они пытались преодолеть один и тот же набор высот.

Тем не менее даже в случае наличия всей этой информации с помощью выше приведенной статистики нельзя получить прогноз на будущее. Чтобы делать прогнозы, мы должны знать вероятность того, что в следующий раз п-й прыгун возьмет z-ю высоту.

Число успешных исходов является конкретной и вместе с тем ограниченной информацией, вероятность является абстрактной и вместе с тем принципиально необходимой информацией для прогноза. Это очень важный аспект, потому что прогноз — это одна из важнейших задач науки.

В связи с этим необходимо отметить, что в исходной матрице могут быть пропуски, однако в матрице ожиданий пропусков нет: для всех у-х комбинаций вычисляется вероятность успешной попытки.