Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Несобственный интеграл, зависящий от параметра, называется равномерно сходящимся по параметру на множестве, если для любого существует такое,, что для всех и всех,, выполняется неравенство: Теорема 1 (критерий Коши) Для того чтобы несобственный интеграл сходился равномерно по параметру на множестве ?, необходимо и достаточно, чтобы такое, что и выполнялось неравенство. Если конечно, то есть… Читать ещё >
Несобственные интегралы, зависящие от параметра (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Определение и сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра
Пусть функция определена на множестве.
И пусть функция удовлетворяет условиям:
- 1) (может быть конечным или бесконечным);
- 2) для любого функция интегрируема по переменной на каждом отрезке, где .
Если конечно, то есть несобственный интеграл от неограниченной функции; если бесконечно, то есть несобственный интеграл c бесконечным верхним пределом.
Не ограничивая общности, будем рассматривать случай .
Несобственным интегралом, зависящим от параметра, называется интеграл вида.
.
где переменная называется параметром.
Аналогично определяются следующие несобственные интегралы, зависящие от параметра :
.
Поточечная и равномерная сходимость
Несобственный интеграл, зависящий от параметра, называется сходящимся (поточечно), если и существует конечный предел :
:
.
Поточечная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра определяет сходимость его при каждом фиксированном как несобственного.
Поскольку.
.
то для сходящегося интеграла справедливо равенство.
.
Несобственный интеграл, зависящий от параметра, называется равномерно сходящимся по параметру на множестве, если для любого существует такое, , что для всех и всех, , выполняется неравенство :
: и.
Обозначим, где. Тогда интеграл равномерно сходится, когда при .
Теорема 1 (критерий Коши) Для того чтобы несобственный интеграл сходился равномерно по параметру на множестве ?, необходимо и достаточно, чтобы такое, что и выполнялось неравенство.
Следствие. Если такое, что и такие, что.
,
то интеграл нe сходится равномерно по параметру на множестве .