Частотные характеристики электрических цепей

Предметом теории электрических цепей является изучение наиболее общих закономерностей, описывающих процессы, протекающие во всех электротехнических устройствах. Теория электрических цепей основана на двух постулатах:

• 1. Исходное предположение теории электрических цепей. Все процессы в любых электротехнических устройствах можно описать с помощью двух понятий: тока и напряжения.
• 2. Исходное допущение теории электрических цепей. Ток в любой точке сечения любого проводника один и тот же, а напряжение между любыми двумя точками пространства изменяется по линейному закону.

Сопротивления индуктивных и емкостных элементов являются функциями частоты приложенного напряжения. Поэтому изменение частоты гармонических колебаний входного воздействия приводит к изменению амплитуды и начальной фазы реакции. Частотную зависимость отношений амплитуд реакции и входного воздействия называют амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость разности начальных фаз реакции и входного воздействия от частоты — фазочастотной характеристикой.

Электронные цепи, которые служат для передачи сигналов, имеют обычно две пары внешних зажимов, т. е. являются четырехполюсниками.

Четырехполюсник — разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения. Как правило, две точки являются входом (входной зажим), две другие — выходом (выходной зажим).

К входным зажимам подается сигнал в виде напряжения или тока, реакция снимается с выходных зажимов также в виде напряжения или тока. В их состав могут входить резисторы, емкости и катушки индуктивности.

Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Различие заключается в том, что линейные не содержат нелинейных элементов, поэтому задаются линейной зависимостью напряжения от тока на выходных от напряжения и тока на входных зажимах, нелинейные — наоборот. Также, различают активные и пассивные четырехполюсники. Активные схемы содержат источники электрической энергии, пассивные — не содержат.

Протекающий по цепи переменный ток, а также напряжение описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса и являются частотно зависимыми величинами. Их мгновенные значения являются комплексными числами и могут быть записаны в трех формах. При расчете характеристик четырехполюсника вычисления производятся над комплексными числами. Следовательно, необходимо изучение таких характеристик, как амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.

Зависимость частоты отношения комплексной амплитуды отклика цепи к комплексной амплитуде воздействия называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ), ее записывают в показательной, алгебраической, тригонометрической (редко):

(1.1).

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — это зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического сигнала на выходе к амплитуде гармонического сигнала на входе (без учета начальных фаз).

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) есть модуль комплексной частотной характеристики:

(1.2).

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — это зависимость от частоты сдвига по фазе между выходным и входным сигналами.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) есть аргумент комплексной частотной характеристики:

где — это действительная составляющая КЧХ.

— это мнимая составляющая КЧХ КЧХ может быть либо безразмерной, либо иметь размерность проводимости или сопротивления. Это зависит от воздействия и реакции — ток или напряжение.

АЧХ и ФЧХ не зависят от значений амплитуд и начальных фаз воздействий, приложенных к цепи внешних воздействий, а определяются числом, характером, значениями и видом соединения друг с другом ее элементов.

КЧХ входного сопротивления — зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд входного напряжения и входного тока.

КЧХ коэффициента передачи по напряжению — зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд выходного и входного напряжения.

Метод, основанный на символическом изображении синусоидальных функций времени комплексными величинами, называют символическим (комплексным) методом или методом комплексных амплитуд (МКА).

Для расчета первого задания понадобятся формулы:

Комплексная схема замещения:

(1.6).

АЧХ и ФЧХ комплексного входного замещения:

Комплексная передаточная функция напряжения:

АЧХ и ФЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения:

(1.10).

где (1.12).

(1.13).

Также для решения задачи нам понадобятся законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

Закон Ома в комплексной форме получаем из формулы для комплексного сопротивления:

(1.14).

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

Равенство не нарушится, если вместо токов подставить соответствующие комплексы. Это и будет выражение для первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

По второму закону Кирхгофа, в любом (замкнутом) контуре справедливо равенство алгебраических сумм мгновенных значений напряжений на сопротивлениях контура и ЭДС:

(1.17).

Заменив напряжения и ЭДС на соответствующие комплексы, получим выражение для второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

АЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения не может быть больше 1 при любой частоте.

В случае, когда цепь имеет два и более контуров, ток в ветви можно найти с помощью метода контурных токов, метода токов ветвей или метода узловых потенциалов.

Годографы КЧХ строятся следующим образом:

Поскольку — комплексная величина, ее можно изобразить вектором на комплексной плоскости. Длина вектора равна значению АЧХ на частоте, а угол, который образует вектор с вещественной положительной полуосью — значению ФЧХ. С изменением частоты конец вектора опишет кривую, которую называют годографом комплексной передаточной функции или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Годограф строят при изменении частоты от 0 до .