Электрон в центральном поле

Решения уравнения Шрёдингера для электрона в центральном поле играют определяющую роль для рассмотрения строения и свойств атома водорода, водородоподобных ионов, классификации электронных состояний и нахождения приближенных решений для атомов и ионов любых химических элементов и молекулярных систем.

Уравнение Шрёдингера для электрона, движущегося на расстоянии г в центральном поле с зарядом Z, имеет вид.

Для решения задачи переходят к сферическим координатам (г, 0, ср), что позволяет разделить переменные. В этих координатах оператор Лапласа, А = V² имеет вид.

В таком случае собственные функции уравнения Шрёдингера можно выразить как произведение трех функций: /?, 0 и Ф, каждая из которых зависит только от одной сферической координаты.

После подстановки (3.14) и (3.15) в (3.13) уравнение Шрёдингера принимает вид.

. г² sirr 9.

Умножая получившееся выражение на — и перегруппировывая слагаемые, получаем Л0Ф.

Левая и правая части уравнения зависят от различных переменных, поэтому они равны некоторой постоянной, которую обозначим т². Теперь имеем два уравнения:

Разделив выражение (3.16) на sin² 0, вновь удается разделить переменные в левой и правой частях уравнения:

Обозначив постоянную величину буквой с, получаем два уравнения:

Уравнение Шрёдингера для радиальной части волновой функции (3.18) электрона принимает вид.

Его собственные значения, являющиеся энергией электрона в центральном кулоновском поле, равны.

где главное квантовое число «=1,2,оо.

2 z

Если ввести обозначение? =—г, то решение для соб;

п

ственной радиальной функции имеет вид.

где L²J*I (q) — присоединенный полином Лягера, который связан с полиномом Лягера /фТ) дифференциальным соотношением

N_ш — коэффициент нормировки.

Так как г — сферическая координата, то для вычисления коэффициента нормировки нужно брать интеграл вида.

Здесь опущен знак модуля, потому что R_nl — вещественная функция. Интегрирование последнего выражения позволяет получить значение нормировочного множителя собственной радиальной функции:

В представленных выражениях орбитальное квантовое число / принимает следующие значения: / = 0, 1, … <(я-1). Решения уравнения (3.17) имеют вид.

а уравнения (3.19) —.

где р)'^п (cos0) — присоединенные полиномы Лежандра, определяемые по формуле.

Они являются ортогональными функциями при различных значениях квантового числа / и при одинаковых значениях т.

Полные собственные функции для электрона в кулоновском поле имеют вид.

где п= 1,2,… — главное квантовое число; /= 0,1, 2,…, (п-1) — орбитальное (азимутальное) квантовое число; т — 0, ±1, … ±1 — магнитное квантовое число; R_nl® — радиальная, У_/т(0, ф) = 0Ф — угловая составляющие функции.

Согласно формуле (3.20) собственные значения Е_п зависят только от главного квантового числа п, тогда как собственные функции (3.21) нумеруются тремя квантовыми числами п_у /, т и зависят от значений всех трех квантовых чисел. Это означает, что электрон в центральном поле точечного заряда ядра находится в вырожденном по энергии состоянии.

При заданном значении п число / пробегает значения от 0 до п — 1, поэтому число функций, отличающихся только номерами / и т, будет следующим:

Итак, собственное значение Е_п вырождено я²-кратно. Такая большая степень вырождения связана с высокой симметрией центрального поля. В атоме водорода имеется еще вырождение по спину, которое не проявляется, так как в функции (3.21) опущена спиновая часть.