Целью решения задачи является максимизация прибыли от сборки стационарных двуядерных компьютеров

Описание.

Целью решения задачи является максимизация прибыли от сборки стационарных двуядерных компьютеров. Эта прибыль зависит от выручки за один компьютер S, числа выпущенных и проданных двуядерных компьютеров:

Из формулы видно, что фирма «X» может влиять на прибыль V, только изменяя величину, которая, таким образом, является единственной переменной управления в данной задаче.

Неуправляемых входных воздействий задача не содержит. Переменными состояния, характеризующими рынок региона, являются величины S и .

Величина d есть функция от :

.

где означает округление числа x до ближайшего целого числа с избытком.

Для решения задачи необходимо знать величину. Её можно определить либо экспертным путем, либо проведя соответствующее обследование рынка сбыта.

Формализация.

Данная задача относится к классу задач принятия решений в условиях риска. Формализация такой задачи сводится к построению дерева решений, наглядно отображающего взаимосвязь всех стратегий и исходов.

Рис. 1. Дерево решений

Дерево решений содержит вершины двух типов: вершины-решения и вершины-случаи. В вершине-решении право выбора ветви (стратегии) принадлежит лицу, принимающему решение (ЛПР). В вершине-случае выбор ветви происходит случайным образом в соответствии с вероятностным распределением, которое должно быть известно ЛПР. На рис. 1 вершины-решения обозначены квадратами, а вершина-случай — кружком. Точками обозначены возможные исходы. Рядом проставлены соответствующие им значения выигрыша (прибыли).

Дерево имеет корнем вершину A, в которой ЛПР имеет право выбора между стратегиями А1 (не проводить обследование рынка сбыта) и А2 (провести обследование рынка сбыта). Если ЛПР выберет А1, то окажется в вершине B. Задача ЛПР в этой вершине — определить оптимальный объем выпуска двуядерных стационарных компьютеров.

Задача определения величины, максимизирующей прибыль V, сводится к отысканию оптимального значения d. Очевидно, что d=, где максимальное число отделений фирмы по сборке двуядерных компьютеров:

n =.

Для каждого значения d= легко подсчитать прибыль по V, если известна величина. В вершине B для определения ЛПР может воспользоваться только своими субъективными соображениями для подсчёта числа стационарных компьютеров в двуядерном исполнении.

Так ЛПР может считать, что:

= q1 ,.

где — субъективная вероятность, с которой, по мнению ЛПР, покупатель предпочтёт двуядерный компьютер одноядерному. Непосредственно назначить величину, как правило, не представляется возможным. Поэтому следует положить , — математическое ожидание значения, вычисление по субъективному интегральному распределению, (px), а для нахождения интегрального распределения воспользоваться алгоритмом, описанным ниже.

Определив V для всех d=, следует выбрать:

(B) = max (B).

Найденное при этом оптимальное число отделений фирмы h определит оптимальный объём выпуска двуядерных компьютеров за квартал в случае принятия стратегии А1.

Если ЛПР выберет стратегию А2, то из вершины, А он перейдёт в вершину-случай С, заплатив за проведение обследования W рублей. Результатом обследования должно быть нахождение объективной вероятности p, с которой покупатель предпочитает покупку двуядерного компьютера покупке одноядерного. Поскольку выбор между стратегиями A1 и А2 ЛПР обязан сделать до начала обследования рынка региона, значение p ему неизвестно. В принципе p может оказаться любым числом в интервале [0,1]. Однако для упрощения задачи будем полагать, что множество возможных значений p дискретно. Для этого достаточно разбить интервал [0,1] на m равных отрезков и считать, что p может попадать только в середину каждого из отрезков. Для случая m = 10 получим тогда множество возможных значений вероятности p.

В вершине C дерева решений с некоторой субъективной вероятностью реализуется одно из возможных значений, (i=). Следовательно, из C должно выходить m ветвей.

Пусть, например p = p1. Тогда ЛПР окажется в вершине, где он должен определить оптимальный объём выпуска, доставляющий прибыль:

в предположении, что p = p1 и, следовательно, После вычисления, для всех i= ЛПР будет знать выигрыши, которые он получит при попадании в каждую из вершин. Поэтому часть дерева, имеющая корнем вершину C, примет вид, показанный на рис. 3.

Рис. 3. Часть дерева решений после нахождения

Теперь легко определить ожидаемый выигрыш в вершине C:

Будем считать, что равна субъективной вероятности попадания непрерывной случайной величины в i-й интервал l.

Для расчёта по этой формуле требуется знать субъективное интегральное распределение (p?x). Однако это распределение ЛПР должно быть уже известно.

Для выбора стратегии следует определить ценность информации, которая может быть получена при проведении обследования рынка сбыта:

Если E? W, то предпочтение следует отдать стратегии А1, записав в план значение, обеспечивающие получение прибыли. В случае, когда E>W, ценность информации превышает затраты на её получение и организация обследования становится нецелесообразной, что соответствует выбору стратегии А2. Поскольку студент не в состоянии провести обследование рынка сбыта, то при выборе А2 = 0,7*p1*q1.