Экономико-математическое моделирование

Задание 1

Предприятию ООО «ТИТАН», одним из видов деятельности которого является выполнение токарных, фрезерных и сверлильных работ, поступил заказ на производство гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня в количестве соответственно шт. Производство заказанной токарной продукции в полном объеме ограничено запасами имеющихся ресурсов (трудозатратами — чел.-час., запасом стали — кг, а также выделенными денежными средствами на оплату труда рабочих и последующую обработку токарной продукции — руб.). Кроме того, известно, что для производства единицы продукции каждого вида требуется соответственно кг стали, трудозатраты при этом составляют соответственно чел.-час. За каждую изготовленную деталь рабочий предприятия получает руб., последующая обработка единицы изделия каждого вида требует затрат денежных средств в размере руб. соответственно.

Задача оптимизации производства для ООО «ТИТАН» ставится в форме максимизации дополнительной прибыли предприятия при заданных ассортименте выпускаемой продукции и ограничениях на имеющиеся запасы ресурсов, при условии, что прибыль от реализации единицы продукции каждого вида составляет соответственно руб.

Необходимо:

1. Построить экономико-математическую модель представленной задачи линейного программирования ().

2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

оптимизация excel экономический интерпретация Решение.

1. Построим экономико-математическую модель представленной задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).

Обозначим через (где) — объём производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

Тогда дополнительная прибыль предприятия при заданном ассортименте выпускаемой продукции составит:

Ограничения по запасам имеющихся ресурсов:

Ограничения по объему производства:

Условия неотрицательности объемов производства:

Условия целочисленности объемов производства:

.

Экономико-математическая модель представленной задачи планирования производства составлена.

2. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

исходные данные рис. 1.

Рис. 1. Ввод исходных данных задания 1

Рис. 2. Ввод формул

Рис. 3. Результат вычисления введенных формул

Теперь определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня), при котором предприятие получит дополнительный доход.

Рис. 4. Окно «Поиск решения»

В результате получим такой план производства гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня ООО «ТИТАН» (ячейки В16: Е16), при котором дополнительный доход предприятия примет максимальное значение, равное 26 720 руб. (ячейка G18) (рис. 5).

Рис. 5. Результат поиска решения (оптимального плана производства)

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Для обеспечения максимальной дополнительной прибыли в размере 49 330 рублей предприятию ООО «ТИТАН» следует производить гайки стремянки в количестве 570 шт., гайки штанги — 1500 шт., гайки МОД — 900 шт. и кольца шкворня — 700 шт. в месяц.

Дефицитным ресурсом при этом является оплата рабочему и денежные затраты, поскольку их остатки равны нулю. Увеличение недефицитных ресурсов: трудозатрат и стали, не может влиять на оптимальный план производства токарной продукции ООО «ТИТАН» .

Задание 2

В регионе имеются четыре угольные шахты, объем добычи угля в которых составляет соответственно () тонн в день. Первичную переработку угля осуществляют три фабрики, производственные возможности которых составляют () тонн в день соответственно. Перевозка угля от шахт до фабрик осуществляется с помощью железнодорожного транспорта. Транспортные затраты составляют руб. за т.-км. Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик приведено в следующей таблице:

Исходные данные транспортной задачи представлены в таблице:

Необходимо:

1. Построить экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.

2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

4. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая угольная шахта с объемом добычи угля в тонн в день, расстояние от которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно () км. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

5. Найти с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в тонн в день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет соответственно () км. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение.

1. Построим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи.

Обозначим через — объём перевозки угля от i-ой шахты до j-ой перерабатывающей фабрики.

Тогда суммарные транспортные затраты на перевозку составят:

Заданные объемы добычи угольных шахт и производственные возможности перерабатывающих фабрик накладывают ограничения на значения объемов перевозок угля :

Мощность всех шахт должна быть реализована:

Потребности фабрик должны быть удовлетворены:

Объемы перевозимого угля не могут быть отрицательными:

Экономико-математическая модель представленной транспортной задачи составлена.

2. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны. Для начала проверим тип представленной транспортной задачи. Так как (суммарная мощность шахт равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является закрытой, а ее решение можно найти. Далее на листе 1 новой книги Microsoft Excel, названной «Транспортная задача», в ячейки А3: Е12 введем исходные данные как на рис. 6.

Рис. 6. Ввод исходных данных задания 2

Сформируем матрицу оптимального распределения поставок угля, (рис. 7).

Рис. 7. Ввод формул задания 2

Рис. 8. Результат вычисления формул задания 2

Теперь определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны.

Рис. 9. Окно «Поиск решений» (транспортная задача)

В результате получим такое распределение поставок угля с шахт на перерабатывающие фабрики (ячейки В16: D19), при котором суммарные транспортные издержки принимают минимальное значение, равное 4 131 тыс. руб. (ячейка Е22) (рис. 10).

Рис. 10. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок угля)

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 3330 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

— с первой шахты 70 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 40 т. перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;

— со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 50 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

— с третьей шахты весь объем добытого за день угля (это 30 т.) необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику

— с четвертой шахты 90 т. необходимо перевезти на четвертую перерабатывающую фабрику.

4. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая угольная шахта с объемом добычи угля в тонн в день, расстояние от которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно () км.

Дополнительные исходные данные транспортной задачи представлены в таблице:

Сначала составим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи с измененными условиями:

Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными условиями.

Так как (суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.

Для этого введем фиктивного потребителя (перерабатывающую фабрику), производственная потребность в угле которой составляет. Все значения расстояний от шахт до этой углеперерабатывающей фабрики .

После введения фиктивной фабрики задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

Далее на листе 2 книги «Транспортная задача» Microsoft Excel, в введем исходные данные дополненной задачи как на рис. 11.

Рис. 11. Ввод исходных данных транспортной задачи с измененными условиями

сформируем матрицу оптимального распределения поставок угля, причем ячейки В15: Е19 заполняем нулями (см. рис. 12).

Рис. 12. Ввод формул транспортной задачи с измененными условиями

В результате получим такое распределение поставок угля с шахт на перерабатывающие фабрики (ячейки В15: Е19), при котором суммарные транспортные издержки принимают минимальное значение, равное 3 816 тыс. руб. (ячейка Е22) (рис. 15).

Рис. 15. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок в задаче с измененными условиями)

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 3345 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

— с первой шахты весь 40 т. необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику и 70 т. на вторую перерабатывающую фабрику;

— со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 50 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

— с третьей шахты весь объем добытого за день угля (это 30 т.) необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

— с четвертой шахты 90 т. необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику

— с пятой шахты весь объем добытого за день угля (это 140 т.) так и не будет вывезено.

5. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в тонн в день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет соответственно () км.

Дополнительные исходные данные транспортной задачи представлены в таблице:

Сначала составим экономико-математическую модель представленной транспортной задачи с измененными условиями:

Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными условиями.

Так как (суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.

Для этого введем фиктивного поставщика (угольную шахту), добыча угля которой составляет т. в день. Все значения расстояний от этой фиктивной шахты до углеперерабатывающих фабрик .

После введения фиктивной шахты задача становится закрытой, и её математическая модель будет иметь вид:

Далее на листе 3 книги «Транспортная задача» Microsoft Excel, в ячейки А1: F11 введем исходные данные дополненной задачи как на рис. 16.

Рис. 16. Ввод исходных данных второй задачи с измененными условиями

В результате поиска решения получим такое распределение поставок угля с шахт на перерабатывающие фабрики (ячейки В15: Е19), при котором суммарные транспортные издержки принимают минимальное значение, равное 3381 тыс. руб. (ячейка Е22) (рис. 17).

Рис. 17. Результат поиска решения (оптимального распределения поставок во второй задаче с измененными условиями)

Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили 2500 тыс. руб. необходимо придерживаться следующего оптимального плана распределения поставок угля:

— с первой шахты 110 т. добытого угля необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;

— со второй шахты весь 50 т. добытого угля необходимо перевезти на четвертую перерабатывающую фабрику;

— с третьей шахты весь объем добытого за день угля (это 30 т.) необходимо перевезти на четвертую перерабатывающую фабрику;

— с четвертой шахты весь объем добытого за день угля (это 90 т.) необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику Кроме того, важно отметить, что согласно полученному оптимальному распределению перевозки угля производственная потребность первой перерабатывающей фабрики не будет удовлетворена на 120 т., а второй фабрики — на 70 т.

Задание 3

Руководство финансовой компании рассматривает 4 инвестиционных проекта, между которыми собирается распределить 150 млн руб. В зависимости от объема выделенных денежных средств, каждый инвестиционный проект приносит финансовой компании дополнительный доход, () у.е.:

Необходимо:

1. Определить размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

2. Определить оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение.

1. Определим размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности 4-ого шага:

;

показатель эффективности 1-го инвестиционного проекта.

объединённый показатель эффективности 2-х инвестиционных проектов.

Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 1:

Таблица

Объединённый показатель эффективности 3-х инвестиционных проектов. Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 1.

Объединённый показатель эффективности 4-х инвестиционных проектов —. Произведем вычисления значений функции и представим их в таблице 1.

В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет .

Таким образом, размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты составляет 64 у.е.

2. Определим оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

Из таблицы 1 находим оптимальные планы распределения выделенных средств.

Оптимальный план:

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Согласно первому оптимальному распределению средств финансовой компании, обеспечивающему ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты, равной 62 у.е., на реализацию первого инвестиционного проекта необходимо выделить выделить 80 млн руб., на реализацию второго — 20 млн руб., а на реализацию третьего выделять не следует и на реализацию четвертого выделять не следует.

Задание 4

На производственном предприятии «ТИТАН» оборудование эксплуатируется в течение лет, после чего продается (считается, что после лет оборудование в результате морального износа не способно обеспечить выпуск конкурентоспособной продукции). В начале каждого года руководство предприятия принимает решение сохранить оборудование или заменить его новым аналогичным (при этом старое оборудование продается, а вырученные средства направляются на покрытие части стоимости нового оборудования). Первоначальная стоимость нового оборудования составляет тыс. руб., затраты на содержание оборудования — тыс. руб., и ликвидная стоимость оборудования — тыс. руб. приведены в таблице:

Необходимо:

1. Определить минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение рассматриваемого периода .

2. Определить оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение рассматриваемого периода T в условиях текущих цен.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Решение.

1. Определим минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет. Проведем на размеченном графе (рис. 28) условную оптимизацию.

5 шаг. В состояниях (5, t) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости (t), но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5, t) ставим величину дохода со знаком «-» .

4 шаг.

Состояние (4,1).

Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в точку (5,1) (укажем это направление пунктирной линией).

Состояние (4,2).

Состояние (4,3).

Состояние (4,4).

3 шаг.

Состояние (3,1).

Состояние (3,2).

Состояние (3,3).

2 шаг.

Состояние (2,1).

Состояние (2,2).

1 шаг.

Состояние (1,1).

После проведения условной оптимизации в точке (0,0) получим минимальные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с последующей продажей:

усл. ден. ед.

2. Определим оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 лет в условиях текущих цен.

Строим оптимальные траектории, перемещаясь из точки (0,0) по пунктирным линиям в конечное состояние (рис. 28).

Получаем следующие наборы точек, соответствующие управлениям:

(0,0); (1,1); (2,1); (3,1); (4,1); (5,1) ;

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Согласно стратегии эксплуатации оборудования, обеспечивающей минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 лет, его следует заменить в начале 2-го, 3-ого, 4-го и 5-ого года.

Рис. 28 Размеченный граф условной оптимизации