Классическая вероятностная схема

В этой схеме для определения вероятности нет необходимости проводить опыты. Сама же вероятность основывается на равной возможности любого из конечного числа исходов, что характерно для первых попыток исчисления шансов в азартных играх. Исход бросания монеты в одном опыте случаен, однако при многократном повторении опыта можно наблюдать определенную закономерность.

Рассмотрим классическую вероятностную схему как событийную, то есть предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа N элементов: Q = {<�У_Р (О-, …, <�У_Л). Более того, предположим, что из каких-либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1 / N. Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в следующих экспериментах:

Бросание монеты. Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих друг друга исхода: выпал «герб», выпала «цифра».

Бросание игральной кости. Подбрасывается правильный кубик (игральная кость). При этом случайным образом выпадает та или иная грань, то или иное число очков: а = 1,2, …, 6.

Игра в рулетку. Рассмотрим тяжелый диск, разделенный на п правильных секторов. Диск находится в горизонтальном положении и легко может вращаться вокруг своей оси. Вдоль окружности по краю диска имеется однородное углубление (желоб), в котором находится маленький, свободно перемещающийся шарик. На каждом отдельном шаге (опыте) диску сообщается сильное вращение, при котором шарик катится по желобу. После остановки диска останавливается и шарик, попадая в один из секторов диска (обозначенных на диске номерами от 1 до п).

По поводу каждого из описанных выше опытов (бросание монеты или игральной кости, бросание шарика при игре в рулетку) можно сказать следующее: во-первых, исход опыта является случайным; вовторых, имеется конечное число различных, взаимно исключающих друг друга исходов; в-третьих, все эти исходы равновероятны.

В случае, когда рассматриваемые опыты имеют равновозможные исходы, вероятность события А может быть вычислена по следующей формуле;

где N — общее число равновозможных и взаимно исключающих друг друга исходов, п (А)~ число тех из них, которые приводят к наступлению события А.

ПРИМЕР 12. Рассмотрим игру в преферанс, когда старшие 32 карты карточной колоды случайным образом распределяются между тремя игроками, получающими по 10 карт, и «прикупом», куда кладут 2 карты. Какова вероятность того, что в прикупе окажутся 2 туза?

РЕШЕНИЕ. Число всех комбинаций из 32 карт по 2 равно числу.

32!

сочетаний и вычисляется по формуле: N =^{rrjgr =} 496. В карточной колоде имеется ровно 4 туза и число различных комбинаций, дающих 2 туза, равно числу сочетаний из 4 по 2: /?(/4) == 6. Окончательно.

получим.

ПРИМЕР 13. Предположим, что один из играющих имеет 5 старших карт одной масти (черви), исключая даму. При объявлении ранга игры участнику приходится учитывать возможность образования у одного из вистующих — противников — комбинации из трех оставшихся червей. Какова вероятность этого события?

РЕШЕНИЕ. У двух «вистующих» 20 карт. Количество различных комбинаций получения карт одним из игроков равно N = ⁼ Т^Т^НЙ ‘.

Если комбинацию «третья дама» зафиксировать у одного игрока, то число совместимых с этим случаем распределений равно числу сочета;

1 71.

ний из 17 оставшихся карт по 7: п (А) = Таким образом,.

Вероятность появления третьей дамы у любого из вистующих очевидно в 2 раза больше.

ПРИМЕР 14. В поступившей партии из 30 швейных машинок 10 машинок имеют внутренние дефекты. Какова вероятность того, что из партии в пять наудачу взятых машинок три окажутся бездефектными?

РЕШЕНИЕ. Введем следующие обозначения: NЪ0 — общее число машинок, п = 20 — число бездефектных машинок, т — 5 — число отобранных в партию (подмножество) машинок, к = 3 — число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по т машинок равно числу сочетаний из N элементов по т, т. с. С™. Однако в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из п элементов по к, т. е. С". С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из N — п элементов по т — к, т. е. С™"*. Тогда общее число благоприятствующих исходов равно произведению (комбинаторика — правило произведения) С" - С™"* - Согласно (1.12), окончательно получим:

Подставим в формулу (1.13) численные значения и окончательно получим:

Замечание. Выражение (1.13) носит название формулы гипергеометрического распределения.