Линейная модель торговли

Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно х, х₂, …" х_и, расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть а,; — доля бюджета x_j% которую у-я страна тратит на закупку товаров у 1-й страны. Введем матрицу коэффициентов а~.

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне се (это можно трактовать как торговый бюджет), то справедливо условие.

Матрица (5.19) со свойством (5.20), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Как следует из п. 3.3.6, эта матрица является стохастической.

Для /-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть нс больше выручки от торговли, т. е. Р. > х. или.

Покажем, что в условиях (5.22) нс может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при / от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов х_п получаем

Поскольку в скобках стоят суммы элементов матрицы А по се столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (5.20), мы получили неравенство

откуда очевиден только знак равенства.

Глава 5 Применение методов линейной алгебры в экономикеТаким образом, условия (5.22) принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов х (каждая компонента этого вектора характеризует бюджет соответствующей страны). Тогда систему уравнений (5.23) можно записать в матричной форме.

Уравнение (5.24) означает, что собственный вектор структурной матрицы Л, отвечающий ее собственному значению X = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (5.24) в виде, позволяющем определять х и решать соответствующие задачи:

Пример 7. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:

Решение. Необходимо найти собственный вектор J, отвечающий собственному значению X = 1 заданной структурной матрицы А, т. е. решить уравнение (5.25), которое в нашем случае имеет вид:

Поскольку ранг этой системы равен трем, одна из неизвестных является свободной переменной, и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора х:

Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 605, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):