Расчет статических неопределимых стержневых систем

Задание

Рассчитываемая схема представляет собой конструкцию с одной шарнирной опорой и двумя деформируемыми тягами. Стержень 1 изготовлен из меди, стержень 2 — из стали; модули упругости их при растяжении-сжатии:

Внешние силы.

Коэффициент линейного расширения второго стержня Стержень 2 изготовлен длиннее на величину Изменение температуры окружающей среды.

Допустимые напряжения для материалов каждого из стержней:

Конструктивное соотношение площадей стержней.

Геометрические размеры системы a=4м, b=2м, с=6м, d=1м, h=2м,.

Определение усилий от внешних сил Р1 И Р2 .

Вычертим расчётную схему балки с указанием всех размеров. Для расчёта усилий используем метод сечений. Сечения проводим через оба стержня. Рассмотрим равновесие системы, заменяя действия отбрасываемых стержней реакциями (внутренними усилиями) R1 и R2:

Система сил расходящаяся. У=3, R=4, К=1. Таким образом, степень статической неопределимости системы равна одному. Система статически неопределима.

Составим уравнение статики.

Остальные уравнения статики можно не составлять, так как они необходимы лишь при определении реакций в шарнире, чего не требуется по условию задачи.

Для составления условия совместности деформаций рассмотрим схему перемещений элементов системы.

Под действием внешних сил Р 1 и Р 2 первый стержень удлинится на величину Дl1, а второй — укоротится на величину Дl2, при этом жёсткая балка AD повернётся в положение AD1. Ввиду малости упругих деформаций горизонтальными смещениями точек B, C и D, лежащих на оси балки, можно пренебречь, и будем считать, что эти точки в ходе деформирования системы переместятся вертикально и займут положение B1, C1 и D1 соответственно. Положение этих точек определим пересечением линии AD1 и перпендикуляров, проведённых к первоначальному направлению осевой линии балки AD в точки B, C и D. Удлинение первого стержня и укорачивание второго находим графически: из точек В и С опускаем перпендикуляры на линии О 1 В 1 и О 2С 1, соответствующие новым положениям стержней 1 и 2 после приложения внешних нагрузок. Получим:

Составим условие совместности деформаций.

ДВВ 1 В 2:

ДСС 1С 2:

Условие совместности деформаций для заданной стержневой системы:

.

примем.

Получим.

.

где В — безразмерный коэффициент, учитывающий особенности геометрической конфигурации системы.

Воспользуемся законом Гука для каждого из стержней.

.

из уравнения (2) получим.

Учитывая.

и.

последнее соотношение будет иметь вид:

Решаем совместно систему уравнений (1) и (3):

Проверим найденные численные значения, подставив их в уравнение (1):

Определение монтажных напряжений.

Первый стержень изготовлен с неточностью по длине, т. е. с фактической длиной несколько большей номинальной. Тогда при сборке в стержнях появятся внутренние напряжения. Расчётная схема при этом будет выглядеть следующим образом: деформация статика шарнирный.

Данная система статически неопределима: К=1.

Знаки внутренних усилий будут различными, т.к. при сборке необходимо второй стержень растянуть на величину Дl2, и в нём возникнут растягивающие усилия R2. Первый стержень будет «сопротивляться» этому, что приведёт к необходимости его сжатия на величину Дl1, и в нём возникнут сжимающие усилия R1.

Составим уравнение равновесия для данного случая.

Запишем уравнение равновесия.

Принимая.

Получим Используя закон Гука.

и переходя к новым переменным.

получим:

.

Аналогично перейдём к новым переменным в уравнении (1):

Подставим полученные выражения в уравнения (1) и (2):

Определение температурных напряжений .

Второй стержень нагревается на ДТ=30°С. Тогда его удлинение составит При сборке конструкции упругое удлинение первого стержня будет соответствовать отрезку .

Из схемы перемещений получим:

Примем тогда.

Используя закон Гука.

.

получим:

Перейдём в последнем уравнении к новым переменным, в качестве которых выберем монтажные напряжения:

получим.

(1).

Составим уравнение равновесия для данного случая.

Из схемы перемещений получим:

Используя закон Гука.

.

получим:

Решим совместно систему уравнений (1) и (2):

Определение сечений элементов системы, исходя из расчёта на прочность.

Известно:

Тогда.

Подставляем численные значения:

Учитывая заданное соотношение F2/F1=1, находим площади первого и второго стержня соответственно:

Второму из неравенств удовлетворяет значение.

при значениях первое неравенство не выполняется.

Окончательно выбираем:

Очевидно, что при этом напряжения во втором стержне будут меньше допускаемых, т. е., в первом ;