Плоское течение Куэтта

Рассмотрим щель, образованную двумя параллельными плоскими твердыми стенками (рис. 9). Будем считать, что размеры стенок бесконечны. Щель заполнена вязкой жидкостью; стенки щели для нее непроницаемы, ширина щели равна h.

Рис. 9.

Предположим, что нижняя стенка неподвижна, а верхняя перемещается в своей плоскости с постоянной скоростью U. Требуется найти стационарное распределение скорости внутри щели.

Введем декартову систему координат с началом на нижней плоскости, осью х, направленной вдоль скорости движения верхней плоскости, и осью z, направленной вертикально вверх. Из соображений симметрии задачи следует, что у-компонента скорости v равна нулю, так как оба направления движения вдоль этой оси равноправны и система не может выбрать ни одно из них.

Из этих же соображений следует, что от координаты у оставшиеся компоненты скорости и давление зависеть не могут. Таким образом, задача из трехмерной становится двумерной.

В этой постановке стационарное уравнение Навьс — Стокса (59) выглядит так:

Уравнение несжимаемости (7) сейчас имеет вид.

Учтем теперь, что все точки в направлении оси х физически равноправны, а выбор начала координат в нижней плоскости совершенно произволен. Физические результаты не могут зависеть от произвола при выборе начала координат, поэтому от координаты х ни компоненты скорости v, ни давление р зависеть не могут. Следовательно, вместо (66) мы имеем dv. / dz = 0, откуда v_ = const. Но на стенках щели в силу их непроницаемости v_ = 0, следовательно, эта компонента скорости всюду в щели равна нулю. К выводу о равенстве нулю компоненты v_ можно прийти и из чисто физических соображений. Действительно, допустим, что v. ^ 0 и направлена, скажем, вверх. Поскольку v_, как и остальные компоненты скорости, не зависит от координаты х, это означает, что вся жидкость движется к верхней границе щели. Ясно, что в этом случае вблизи верхней границы будет создаваться уплотнение, вблизи нижней границы — разрежение жидкости. Но эго противоречит условию ее несжимаемости.

С учетом равенства нулю v и производных пох уравнения (65) сводятся к уравнению решение которого.

где А и В — постоянные интегрирования. Обратим внимание на то, что исходная задача о течении жидкости представляет собой систему четырех нелинейных уравнений с частными производными. Решать такие уравнения очень тяжело. Однако с помощью соображений симметрии мы свели эту чрезвычайно тяжелую для общего решения задачу к элементарному уравнению (67).

Из условия прилипания на нижней границе щели следует, что v_x = 0 при z = 0. Следовательно, В = 0. На верхней границе в силу этого же условия скорость жидкости равна скорости верхней стенки, т. e.v_x=U при z = h. Поэтому A = U / h. Таким образом,.

Сила вязкого трения, действующая со стороны жидкости на единицу площади верхней пластины, по определению равна ст_г. = rdv_x /dz. Используя (69), получаем <�з_Х7 = rU /h.