Механические характеристики абсолютно-упругого тела

Для абсолютно упругого тела заданы:

• а) упругие постоянные материала — модуль упругости и коэффициент Пуассона
• б) поле перемещений для любой точки, и

в) точка М, координаты которой заданы единичным вектором.

.

где — направляющие косинусы вектора или координаты точки М (поскольку).

Необходимо определить деформационное и напряженное состояние материала в точке М и графически изобразить деформации и вектор полного напряжения по наклонной площадке.

Под действием внешней нагрузки абсолютно упругое тело деформируется. Поле перемещений частиц определяется векторной функцией. векторный плоскопараллельный несжимаемый жидкость.

.

где — функции проекций вектора перемещений на оси Ox, Oy и Oz.

Согласно теореме Гельмгольца деформационное движение определяется тензором деформаций:

.

где — линейные деформации вдоль осей Ox, Oy и Oz,.

, — углы сдвига в координатных плоскостях xOy, xOz и yOz, соответственно.

Находим с помощью формул Коши компоненты тензора деформаций.

;

Тензор деформаций в точке М будет выглядеть следующим образом:

Используя формулу.

.

определим относительное удлинение .

Для получения картины напряженного состояния необходимо по уже полученным деформациям определить напряжения в точке. Для этого используем обобщенный закон Гука, записанный через параметры Ламе.

.

.

.

Где.

коэффициент Ламе.

— коэффициент Ламе.

— объемная деформация.

— модуль упругости при сдвиге.

— нормальные напряжения.

— касательные напряжения.

Тензорное поле напряжений записывается в виде матрицы следующего вида:

Наклонная площадка проходит через точку М перпендикулярно вектору единичной нормали с направляющими косинусами l, m, n. Поэтому эта площадка отстоит от начала координат на расстоянии единицы длины и отсекает на координатных осях отрезки соответственно a, b, c, которые могут быть вычислены через l, m, n следующим образом:

на оси Ox, на оси Oy, на оси Oz.

a=1.22

b=-1,83

c=-5.5

Вектор полного напряжения в точке М на наклонной поверхности равен:

.

Его модуль равен:

.

Проекции вектора полного напряжения на оси координат можно вычислить через компоненты тензора напряжений по формулам:

Произведем разложение вектора полного напряжения в точке М на наклонной площадке на нормальное и касательное напряжения.

Нормальное напряжение у_n равно:

Величина касательного напряжения ф_n определяется по формуле:

Построим нормальное и касательное напряжение в точке М.