Использование пакета Maple для визуализации экстремалей функционалов двух функциональных аргументов

Рассмотрим функционал, зависящий от двух функциональных аргументов:

с заданными (закреплёнными) граничными значениями обеих функций:

Чтобы найти экстремали этого функционала, нужно решить систему двух дифференциальных уравнений 2-го порядка:

где F — подынтегральная функция пяти аргументов. Решение системы (3) определяет в пространстве двухпараметрическое семейство интегральных кривых. Это семейство экстремалей данной задачи.

Построим решение в евклидовом пространстве .

Функционал (1) определяется выбором пространственной кривой y=y(x), z=z(x) (рис.1). Эту кривую можно задать пересечением двух цилиндров с такими же уравнениями.

Рис. 1. Пространственная кривая y=y(x), z=z(x), определяющая функционал

Рис. 2. Варьирование пространственной кривой

Если варьировать только y(x) (фиксируя z(x)), то мы изменим кривую так, что её проекция на плоскость XOZ не изменится, т. е. кривая всё время будет оставаться на проектирующем цилиндре z=z(x) (рис.2). Аналогично, фиксируя у(х) и варьируя z(х), мы будем изменять кривую АВ так, что она всё время будет лежать на проектирующем цилиндре y=y(x).

Пример 1. Найти экстремали функционала.

с граничными условиями.

.