Логарифмические неравенства. 
Логарифмические уравнения и их методы решения

Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида …(1).

Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:

1. Если, а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

2. Если 0 < а < 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

2. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно опустить второе неравенство.

Решение. 1) Так как, то первоначальное неравенство можно переписать так:. По теореме 2 это неравенство равносильно системе неравенств:

2) Решив систему неравенств, получим [2; 2,75) [4; +).

Ответ: [2; 2,75) [4; +).

Пример 18. Решить неравенство .

2) Используя свойства логарифма, в первоначальном уравнении перейдем к логарифмам с основанием 2 (см. свойства в начале статьи): или .

3) Введем новую переменную. Тогда уравнение примет вид: .

• 4) Решая полученное дробно-рациональное неравенство, найдем, , .
• 5) Таким образом решение первоначального логарифмического неравенства свелось к решению совокупности логарифмических неравенств:. Учитывая область допустимых значений первоначального неравенства имеем:;; .

Ответ: .