Метод решения с использованием схемы расщепления

Для решения неявных разностных схем (8.8)-(8.11), аппроксимирующих дифференциальное уравнение (8.1), используется метод дробных шагов, подробно рассмотренный нами в разделе 7.6. Суть метода дробных шагов заключается в расщеплении интервала At пополам (рис. 8.5), что позволяет представить неявную разностную схему в виде двух подсхем, каждая из которых имеет более простой метод решения. Рассмотрим методику решения неявных разностных схем (8.8)-(8.11) на примере разностной схемы (8.8).

Рис. 8?. Деление интервала Д* для записи схемы расщепления Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (8.8) в схему расщепления:

В первой подсхеме производная по времени аппроксимирована на первом полушаге интервала At, во второй — на втором полушаге интервала At. Первая подсхема является неявной по координате *, вторая подсхема — неявной по координате у. Складывая обе подсхемы, получаем соотношение, отличающееся от разностной схемы (8.8) только тем, что производная ди/дх аппроксимирована в нём не на (п + 1)-м шаге по времени, а на шаге (л + ½):

Данное соотношение показывает, что схема расщепления (8.12) имеет, как и неявная разностная схема (8.8), первый порядок аппроксимации и по времени, и по каждой из координат:

Каждая из подсхем схемы расщепления (8.12), являясь аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, абсолютно устойчива и решается с помощью соответствующего рекуррентного соотношения:

Для реализации рекуррентных соотношений (8.13) требуется знать значения, и***"определяемые с помощью граничных условий:

На рис. 8.6 приведён алгоритм (в виде блок-схемы) решения схемы расщепления (8.12), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (8.1).