Определение. 
Метод интегральных преобразований

Для функции, заданной на положительной полуоси, определим интегральные преобразования.

(1.1).

(1.2).

В случае, когда м = 0 или д = 0, будем обозначать,. Если преобразования и применяются к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижних индексов будем обозначать переменную, по которой проводится преобразование. Например,.

Интеграл (1.1) будет сходиться, если функцияинтегрируема на любом конечном отрезке положительной полуоси и выполняются асимптотические неравенства.

(1.3).

Для сходимости (1.2) достаточно выполнения неравенств.

(1.4).

где и — положительные постоянные.

Далее будем считать, что функции, к которым мы будем применять преобразования (1.1) и (1.2), интегрируемы на любом конечном отрезке положительной полуоси и удовлетворяют условиям (1.3) для преобразования (1.1) и условиям (1.4) для преобразования (1.2).

Свойства преобразований. Общие свойства

Свойство 1. Справедливы соотношения.

(2.1).

Из определений (1.1) и (1.2) следует (2.1).

Свойство 2. Пусть интегралы.

существуют и конечны. Тогда.

.(2.2).

Соотношение (2.2) следует из (1.1) и (1.2) и доказывается с помощью изменения порядка интегрирования.

Отсюда, в частности, следует, что.