Т (Евклида): Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство:
Предположим, что множество простых чисел конечно. Т. е. множество состоит из р1, p2p2,…, pk. Составим произведение этих простых чисел: p1*p2*…*pk.
Запишем число n=p1*p2*…pk+1.
Если n-число составное, то оно имеет один простой делитель, т. е. nрi, i=1…k.
Пусть np1, тогда и произведение делится на р1 => 1p1.
Получается, что n>pk и не делится ни на одно простое число => n явл. простым числом, причем большим любого простого числа в данном множестве => наше предположение о конечности множества не верно.
Теорема об интервалах
Т: Существует сколь угодно большие интервалы, не содержащие простые числа.
Доказательство:
Возьмем m и построим числа следующего вида: n!+2, n!+3, n!+4,…, n!+n. мы получили интервал подряд идущих составных чисел. В этом интервале нет ни одного простого числа.
Решето Эратосфена
Для определения простых чисел, на заданном числовом отрезке, существует метод, называемый решето Эратосфена: на данном числовом отрезке вычеркиваются все числа кратные 2, затем 3, затем 5, 7 и т. д. до наибольшего простого числа р, не превосходящего наибольшего из чисел отрезка. В результате этих действий останутся простые числа.
