Элементы корреляционного анализа

Основные понятия

Определение 2.13. Корреляцией (ковариацией) случайных величии X, Y (обозначается К_ху = cov (X, У)), называют второй смешанный момент случайных величин X и Y, т. е.

Расчетная формула для К_ху.

Если K_XY = 0, то СВ X и Y — некоррелированные (нк) СВ.

Утверждение 2.3. а) Из независимости СВ следует ее некоррелированность (нк); б) обратное неверно.

Доказательство, a) K_XY = MXY — MXMY= 0, так как если X и К независимые СВ, то MXY = MXMY. Для доказательства б) достаточно привести пример зависимых и нк СВ:

Xu Y — СВ; Y = X²; для СВ Xдан ряд распределения:

Найдем ряды распределения для СВ К и XY:

Отсюда, но расчетной формуле для К_ху получаем.

т.е. получаем, что СВ X и Y— некоррелированные, но зависимые, что и доказывает б).

Свойства корреляции:

• 1) Kxy ⁼ Kyx’i
• 2) К_хх = М (Х — МХ)(Х — MX) = DX;
• 3) K_aX+bcX+d = М (аХ +ЬМ (аХ + Ь))(сХ + dМ (сХ + </)) =

= М (яХ + Ь — аМХ — Ь)(сХ + dеМХ-d) =

= М (ас (Х — MX) • (X — MX)) = acDX;

4) iW™ = + b — M (aX + 6))(сУ + </ - М (сУ + </)) =.

= М (яХ + 6 — «MX — 6)(сУ + d — cMY-d) =

= M (ac (X — MX) • (Y— MY)) = acK_XY.

В частности, из указанных свойств корреляции следуют формулы.

Коэффициент корреляции r_XY

Коэффициент корреляции используют в качестве количественной оценки тесноты связи между случайными величинами:

где DX_y DY — дисперсии СВ X и У соответственно. Простейшие свойства r_yv:

Замечание 2.6: а) множество некоррелированных величин шире, чем множество независимых СВ; б) свойство МХУ = МХМУ верно не только для независимых СВ, но и для некоррелированных, так как К_ху = МХУ — МХМУ = 0; в) свойство D (X + У) = DX + DY верно не только для независимых СВ, но и для некоррелированных, так как при доказательстве этого свойства независимость СВ X и У использовалась в форме равенства МХУ = МХМУ, которое верно для некоррелированных СВ; г) свойства 2) и 3) легко по индукции обобщаются на любое конечное число некоррелированных СВ.

Ниже будет доказано, что коэффициент корреляции изменяется в пределах [-1; 1], а для некоррелированных СВ он, очевидно, равен нулю. Близость значения коэффициента корреляции к 1 свидетельствует о существовании между исследуемыми СВ почти строгой функциональной линейной зависимости и о малом влиянии случайных факторов.

При r_XY > 0 с возрастанием одной СВ в среднем возрастает и другая. При r_XY < 0 с возрастанием одной СВ другая убывает. Принято считать, что при 0 < |r_Yy| < 0,2 между исследуемыми величинами практически нет связи, при 0,2 < | r_XY < 0,5 существует слабая связь, при 0,5 < _XY < 0,95 — сильная связь и при 0,95 < _XY < 1,00 — практически функциональная связь.