Состоятельность оценки максимального правдоподобия

Обозначим через Q множество значений неивестного параметра 0. Будем считать, что множество X тех х, для которых р (рс 10) ^ 0, не зависит от 0. Так как нас не интересуют тех, для которыхр (х| 0) = 0, то окончательно будем считать, что функция р (х 10) определена на X х Q.

Обозначим через 0_О истинное значение параметра 0 и через Q₀ — некоторую окрестность 0_О, Q₀ ^G Можно показать, что при довольно общих предложениях оценка максимального правдоподобия 0″:

1) состоятельна, т. е. при п —? °о.

2) асимптотически нормальна ЛГ (0_о, Во^-1)" т. е. распределение случайного вектора Vw (0″ - 0о) сходится к многомерному нормальному распределению JV (О, В₀'), где.

3) асимптотически эффективна, т. е. при п —? °° cff_e(0_/?) —" 1 для всех 0, где, но определению эффективность несмещенной оценки t есть.

Отметим, что всегда 0 < effe (?) < 1, и эффективность оценки t равна единице для всех 0 тогда и только тогда, когда сама оценка t является эффективной [11, 12].

Метод моментов

Если распределение генеральной совокупности зависит от г неизвестных параметров 9_1? …, 0, — и существуют первые г моментов распределения.

то, приравняв выборочные моменты а к теоретическим и решая систему уравнений а* = я*(01,…, 0_;) (k = 1,…, г) относительно 0/, найдем оценки 0, неизвестных параметров. Они будут являться функциями выборочных моментов.

* р ^л р

Поскольку аь-* я* (п —? °о), то 0,-* 0_;, г. е. оценки, полученные методом моментов, состоятельны.

Пример 7.6. Пусть Х,…, Х" — независимые случайные величины с плотностью распределения.

если х > 02 и Р (х) = 0 в противном случае.

Найдем оценки для неизвестных параметров 0_Ь 0₂. Для этого вычислим первые два момента распределения Приравнивая теоретические моменты выборочным и решая систему уравнений.

находим.