Уравнение непрерывности. 
Электромагнетизм, оптика, квантовая физика

Когда заряженные частицы совершают направленное движение, их распределение в пространстве может изменяться с течением времени, т. е. объемная плотность зарядов в общем случае зависит не только от координат точки пространства, но и от времени:

Выведем соотношение, связывающее функции (4.33) и (4.40). Для этого рассмотрим произвольный объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S. Согласно определению объемной плотности заряда интеграл.

есть электрический заряд, распределенный по объему V, в момент времени t. Этот заряд может изменяться с течением времени, если через поверхность 5 протекает электрический ток. Сила тока /, протекающего через поверхность 5 в направлении внешней нормали, есть поток вектора плотности тока:

Пусть за время dt заряд в объеме V изменился на величину dQ. Этот заряд принадлежит тем носителям тока, которые пересекли поверхность S за это время. По определению сила тока I есть отношение заряда, протекающего через поверхность 5, ко времени dt. Предположим, что сила тока / есть положительная величина. Это означает, что положительный заряд вытекает из объема V или отрицательный заряд втекает в этот объем. В таком случае заряд Q в объеме V уменьшается, а его приращение dQ будет отрицательным. Поэтому справедливо равенство.

которое выражает собой закон сохранения заряда.

Подставим интегралы (4.41) и (4.42) в равенство (4.43):

При помощи теоремы Остроградского — Гаусса заменим поверхностный интеграл в правой части этого равенства объемным интегралом от дивергенции вектора j плотности тока. После несложных преобразований придем к уравнению которое называют уравнением непрерывности, или уравнением неразрывности.

Рассмотрим два частных случая. Для системы неподвижных зарядов объемная плотность не зависит от времени: д = д (г)_} а плотность тока равна нулю: j = 0. В этом случае уравнение непрерывности обращается в тождество. Постоянный электрический ток характеризуется не зависящими от времени плотностью заряда д = д (г) и вектором плотности тока j = j®. При этом уравнение непрерывности принимает вид.