Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения.

Используем формулу (см. гл. 10, § 2, следствие 1).

Учитывая, что F (a) = 1 — е~^ка, F{h) = 1 — е~^ХЬ, получим.

Значения функции е~^х находят по таблице.

Пример. Непрерывная случайная величина X распределена, но показательному закону.

Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,3; 1).

Р е ш е н и е. По условию, К = 2. Воспользуемся формулой (*):

Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону.

Найдем математическое ожидание (см. гл. 12, § 1):

Интегрируя по частям, получим.

Таким образом, математическое ож идание показательного распределения равно обратной величине параметра X.

Найдем дисперсию (см. гл. 12, § 1):

Интегрируя, но частям, получим Следовательно,.

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

Сравнивая (*) и (**), заключаем, что.

т.е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Пример. Непрерывная случайная величинах распределена по показательному закону

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.

Решение. По условию, X = 5. Следовательно,.

Замечание 1. Пусть i ia практике изучается показатель! ю распределе1iная случайная величина, причем параметр Я неизвестен. Если математическое ожидание также неизвестно, то находят его оценку (приближенное значение), в качестве которой принимают выборочную среднюю х (см. гл. 16, § 5). Тогда приближенное значение параметра X находят с помощью равенства.

Замечание 2. Допустим, имеются основания предположить, что изучаемая на практике случайная величина имеет показательное распределение. Для того чтобы проверить эту гипотезу, находят оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения, т. е. находят выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение (см. гл. 16, § 5, 9). Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой, поэтому их оценки должны различаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к другой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательном распределении изучаемой величины; если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует отвергнуть.

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.