Квадратичные формы. 
Математика в экономике

Основные сведения о квадратичных формах

Функция

зависящая от переменных х, и у_к> называется билинейной формой от этих переменных; коэффициенты формы a_ik не зависят от x_f и у_к. Такое название объясняется тем, что при фиксированных значениях переменных х_{ функция Ф будет линейной относительно переменных у_к и наоборот.

Функция.

называется квадратичной формой, соответствующей билинейной форме (3.50). Если a_ik = a_ki% то билинейная форма и соответствующая ей квадратичная форма.

называются симметричными.

Будем называть симметрическую матрицу.

матрицей квадратичной формы (3.52). Квадратичная форма (3.52) может быть представлена в матричной форме:

где X * (Хр х₂, …, х_п) и X' — вектор-строка и вектор-столбец переменных.

Пример 16. Дана квадратичная форма Ф (х, х₂, л₃) = 5л,² —бх^ - 8л, л₃ + 2л₂ + + 4х₂л₃ + х₃. Записать ее в матричном виде.

Матрица этой квадратичной формы имеет следующий вид: на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, а симметричные относительно нес недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов перекрестных произведений переменных данной квадратичной формы. Следовательно, имеем запись вида.