Соотношения между постоянными упругости материала

Рассмотрим вырезанный из твердого тела бесконечно малый прямоугольный элемент, в котором одновременно по двум взаимно перпендикулярным направлениям действуют одинаковые по абсолютной величине напряжения (рис. 2.8). Такое состояние относится к двухосным напряженным состояниям. Предположим, что в продольном направлении (направлении х) элемент испытывает растяжение, а в поперечном (направление у) — сжатие. Используем принцип независимости действия сил и представим двухосное напряженное состояние в виде суперпозиции двух изученных нами ранее одноосных напряженных состояний (см. рис. 2.8).

Рис. 2.8. Разложение двухосного напряженного состояния на два одноосных

Для вспомогательных элементов, находящихся в условиях одноосного напряженного состояния, определим по формулам линейные деформации в направлениях х и у. Для первого вспомогательного элемента, находящегося в условиях одноосного растяжения, получим.

Для второго вспомогательного элемента получим аналогичные выражения.

Рассмотрим напряженное состояние в площадках вспомогательных элементов, составляющих угол 45° по отношению к исходному состоянию (рис. 2.9).

Действующие на гранях элементов а и b напряжения определяем с помощью формулы (2.26), после складываем действующие на каждую грань напряжения, в результате чего методом суперпозиции получаем суммарное напряженное состояние.

Убеждаемся в том, что на гранях исходного элемента, находящегося в условиях двухосного напряженного состояния, действуют только равные друг другу касательные напряжения. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

При чистом сдвиге на взаимно перпендикулярных гранях элемента возникают равные касательные напряжения, которые направлены либо навстречу друг другу, либо в противоположные стороны. Под действием сдвиговых напряжений элемент деформируется и приобретет новую форму, отличную.

Рис. 2.9. Напряженное состояние в площадках вспомогательных элементов

от показанной пунктиром (см. рис. 2.9) исходной формы. Из геометрических соображений получим соотношение.

Поскольку рассматриваются малые деформации, в формуле (2.30) использовано приближенное равенство.

Компоненты деформации элемента определяем суммированием деформаций в соответствующих направлениях согласно формулам (2.28) и (2.29):

Зная величину деформации, определим длины отрезков ВВ' и СС'

Рассмотрим отношение ОС к OB', учитывая соотношение (2.30): Учитывая, что для рассматриваемого случая |ст| = |т|, найдем.

Введем обозначение.

Окончательно представим зависимость между касательным напряжением и угловой деформацией в виде.

Данная зависимость известна как закон Гука для чистого сдвига. Константа G носит название модуль сдвига или модуль упругости второго рода. Модуль G измеряется в тех же единицах, что и модуль Е.

Таким образом, для описания механических свойств изотропного материала введены три постоянные величины: В, G и v. Отметим, что поскольку постоянные материала связаны соотношением (2.31), то из трех величин независимыми являются только две.