Линейная регрессионная модель

Пусть определен характер экспериментальных данных и выделен определенный набор объясняющих переменных.

Для того, чтобы найти объясненную часть, т. е. величину М_Х(У), требуется знание условных распределений случайной величины Y. На практике это почти никогда не имеет места, поэтому точное нахождение объясненной части невозможно.

В таких случаях применяется стандартная процедура сглаживания экспериментальных данных, подробно описанная, например, в [1]. Эта процедура состоит из двух этапов:

• 1) определяется параметрическое семейство, к которому принадлежит искомая функция М_х(Y) (рассматриваемая как функция от значений объясняющих переменных X). Это может быть множество линейных функций, показательных функций и т. д.;
• 2) находятся оценки параметров этой функции с помошыо одного из методов математической статистики.

Формально никаких способов выбора параметрического семейства не существует. Однако в подавляющем большинстве случаев эконометрические модели выбираются линейными.

Кроме вполне очевидного преимущества линейной модели — ее относительной простоты, — для такого выбора имеются, по крайней мере, две существенные причины.

Первая причина: если случайная величина (X, Y) имеет совместное нормальное распределение, то, как известно, уравнения регрессии линейные (см. § 2.5). Предположение о нормальном распределении является вполне естественным и в ряде случаев может быть обосновано с помощью предельных теорем теории вероятностей (см. § 2.6).

В других случаях сами величины Y или X могут не иметь нормального распределения, но некоторые функции от них распределены нормально. Например, известно, что логарифм доходов населения — нормально распределенная случайная величина. Вполне естественно считать нормально распределенной случайной величиной пробег автомобиля. Часто гипотеза о нормальном распределении принимается во многих случаях, когда нет явного ей противоречия, и, как показывает практика, подобная предпосылка оказывается вполне разумной.

Вторая причина, по которой линейная регрессионная модель оказывается предпочтительнее других, — это меньший риск значительной ошибки прогноза.

Рис. 1.1.

Рис. 1.1 иллюстрирует два выбора функции регрессии — линейной и квадратичной. Как видно, имеющееся множество экспериментальных данных (точек) парабола сглаживает, пожалуй, даже лучше, чем прямая. Однако парабола быстро удаляется от корреляционного поля и для добавленного наблюдения (обозначенного крестиком) теоретическое значение может очень значительно отличаться от эмпирического.

Можно придать точный математический смысл этому утверждению: ожидаемое значение ошибки прогноза, т. е. математическое ожидание квадрата отклонения наблюдаемых значений от сглаженных (или теоретических) М (К_наб_Л ^— ^теор)² оказывается меньше в том случае, если уравнение регрессии выбрано линейным.

В настоящем учебнике мы в основном будем рассматривать линейные регрессионные модели, и, по мнению авторов, это вполне соответствует той роли, которую играют линейные модели в эконометрике.

Наиболее хорошо изучены линейные регрессионные модели, удовлетворяющие условиям (1.6), (1.7) и свойству постоянства дисперсии ошибок регрессии, — они называются /иассическими моделями.

Заметим, что условиям классической регрессионной модели удовлетворяют и гомоскедастичная модель пространственной выборки, и модель временного ряда, наблюдения которого не коррелируют, а дисперсии постоянны. С математической точки зрения они действительно неразличимы (хотя могут значительно различаться экономические интерпретации полученных математических результатов).

Подробному рассмотрению классической регрессионной модели посвящены гл. 3, 4 настоящего учебника. Практически весь последующий материал посвящен моделям, которые так или иначе могут быть сведены к классической. Часто раздел эконометрики, изучающий классические регрессионные модели, называется «Эконометрикой-1», в то время как курс «Эконометрика-2» охватывает более сложные вопросы, связанные с временными рядами, а также более сложными, существенно нелинейными моделями.