Свойства пределов. 
Математика и информатика

Для вычисления пределов пользуются простыми правилами, основывающимися на свойствах пределов. Перечислим эти свойства.

1. Функция не может иметь более одного предела.

Доказательство. Докажем от противного. Пусть функция имеет два различных предела Ь и b₂. При этом b > b₂, имеем для определенности. Тогда ее можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой двумя разными способами: /(х) = Ь + ф (х) и f (x) = b₂ + а (л). Отсюда можно записать разность двух бесконечно малых — <�р (#) — а (х) = Ь₂ — Ь. Разность двух бесконечно малых есть бесконечно малая; разность Ь₂ — Ь по условию положительное число. Но бесконечно малая, переменная в процессе изменения, (по модулю) становится меньше любой положительной постоянной, поэтому последнее равенство невозможно, и предположение о двух разных пределах исключается.

• 2. Предел постоянной равен ей самой.
• 3. Предел суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) пределов этих функций.
• 4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов перемножаемых функций (при этом постоянный множитель можно выносить за знак предела).
• 5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю.

Суть этих свойств в том, что они допускают перестановочность операции предельного перехода и арифметических действий над функциями.

Эти свойства легко доказываются.

Доказательство свойства 4. Пусть функции f (x) и /₂(дг) имеют пределы Ь и Ь₂ соответственно. Тогда каждая из этих функций представима в виде суммы постоянной и бесконечно малой:

Перемножая эти функции, получаем.

fi (x)f₂(x) = Ьф 2 + /;, ф₂(.г) + 6₂

2(x).

Первое из четырех слагаемых в правой части есть произведение двух постоянных, обозначим его Ь. Каждое из остальных слагаемых является бесконечно малой (см. свойства бесконечно малых), поэтому их сумма также является бесконечно малой. Обозначим ее.

b = Ьф₂ является пределом данного произведения, что и доказывает свойство 4:

д.

3) При х —? -1 имеем lim (х² — 1) = 0, поэтому свойство 5.

х—?—1 ₉

неприменимо. Рассуждаем тогда так: lim (х — 4х + 3) = 8,.

х—-

и поскольку числитель дроби стремиться к 8, а знаменатель к нулю, то дробь неограниченно возрастает и предел не существует: lim f (x) = оо.

.V * -1.

В этом примере оо мы раскрыли неопределенность типа — посредством выноса за скобки независимой переменной в максимальной степени, как в числителе, так и в знаменателе.

Рассмотрим два предела, которые ввиду исключительной роли, как в самой математике, так и в ее приложениях, называются замечательными пределами.

Первый замечательный предел. Так называется предел.

. s x . lim-= 1.

л—о х

Доказательство. По свойствам синуса мы знаем, что в первой четверти с убыванием угла убывает и синус угла и при суем чертеж (рис. 10.13), на котором изобразим окружность с радиусом, равным единице. Проведем касательную АВ к горизонтальному радиусу ОА. Отрезок ОВ_У пересекающий окружность в точке С, образует с радиусом ОА угол, измеряемый в радианах числом х (0 < х < я/2). Удвоенные площади 2S следующих трех фигур связаны очевидными неравенствами:

этом sin. г < # (напомним, х — радианная мера угла), следовательно, если х —? 0, то и sin .г —? 0, поэтому отношение, стоящее под знаком предела является неопределенностью -. Нари.

Рис. 10.13. К доказательству первого замечательного предела.

Выражая эти площади, но известным из школьного курса формулам, получаем двойное неравенство:

sin#< х< tg#.

Преобразуем это неравенство, разделив каждый его член на sin#:

При этом для обратных величин получается следующее равносильное неравенство:

При х —*? 0 cos# стремится к нулю. По здравому смыслу ясно, что к такому же пределу должно стремиться и выражение, заключенное между cos# и единицей. Так обосновывается первый замечательный предел. Приведем примеры, опуская очевидные преобразования.

Примеры.

Второй замечательный предел (без доказательства). Он выглядит следующим образом:

В более подробных руководствах по математическому анализу доказывается, что формула сохраняет силу и при х —^> -оо. Если же перейти к новой независимой переменной t по формуле х = 1 /?, то второй замечательный предел запишется в равносильной форме:

Как и первый, второй замечательный предел имеет многочисленные приложения для раскрытия неонределенно;

л ОО СТИ 1 .

Пример

Здесь, выполнив тождественные преобразования под зна;

ком предела, мы сделали подстановку: t =-т, где t —*> 0 при.

х — 1.

х —? оо. После этого выражение в скобках стремится к е, а показатель степени стремится к 4, что и обосновывает ответ.