Рациональная функция от sin х и cos х

Рассмотрим интеграл вида Действительно,.

Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой.

Подстановка формул (11.27) в интеграл (11.25) дает:

где R_{ (/) — другая рациональная функция аргумента /.

Вычислим интегралы, содержащие рациональные функции от sinх и cos*.

Пример 20. f———.

^J 1 + COS X.

Подставляя сюда формулы универсальной подстановки (11.27), после очевид ных упрощений получаем:

• dx 2 + sinx.

Здесь снова используем универсальную подстановку (11.26) с вытекающими из нее формулами (11.27). После несложных преобразований имеем:

Здесь использован интеграл от рациональной дроби вида III (см. формулу (11.10)).

Пример 21. J;

Пример 22. Найти jsin^mx cos" х dx, где /я и я — натуральные числа.

Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной (см. п. 11.4.2, пример 3). В зависимости от четности тип возможны следующие варианты:

• а) т — четное, п — нечетное; подстановка / = sin х;
• б) т — нечетное, п — четное; подстановка t = cos х;
• в) тип — нечетные; любая из подстановок «а» и «б»;
• г) тип — четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проанализировать каждое слагаемое по этим пунктам.

Например, найти интеграл Jsin⁵x cos²* dx.

Согласно п. «б» выполним подстановку / = cos х; тогда dt = -sin х dx, sin⁴ х = = (1 — /²)²; отсюда имеем:

Рациональная функция от е*

Интеграл вида рационализируется подстановкой

Действительно, подстановка формул (11.29) в интеграл (11.28) дает: где R (t) — рациональная функция от /.