Исследование устойчивости стационарных решений гамильтоновых систем космической динамики, к которому относятся рассматриваемые нами задачи, опирается на классическую теорию устойчивости [1,2] и на достижения КАМ-теории [3,4,5].
В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений в конце XIX столетия оформились два фундаментальных научных направления, связанные с именами А. М. Ляпунова и А.Пуанкаре. Эти направления, прежде всего, касаются развития общей теории устойчивости, методов аналитического и асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений, классификации особых точек дифференциальных уравнений и их решений, топологического описания их различных свойств.
Центральной проблемой качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно считать проблему устойчивости решений дифференциальных уравнений различных классов. До появления выдающихся исследований А. М. Ляпунова [1] и А. Пуанкаре [6] отсутствовала строгая математическая теория устойчивости, поэтому в прикладных задачах исследователи часто ограничивались анализом устойчивости первого приближения, и очень редко рассматривалась устойчивость решений в более высоких приближениях. Иллюстрацией к этому служит знаменитая теорема Лапласа [7] об устойчивости в первом приближении орбит больших планет Солнечной Системы. Полвека спустя С. Пуассон [8] доказал, что во втором приближении только большие полуоси планетных орбит устойчивы (т.е. ak (t)~ak.(0) при t—>+оо), а их эксцентриситеты и наклоны неустойчивы (ек (t) «telt, ik (t) «telt). Лаплас и Пуассон, очевидно, изучали проблему устойчивости только геометрических параметров планетных орбит (на современном математическом языке — медленных фазовых переменных [9]), но не изучали устойчивость угловых фазовых координат (быстрых фазовых переменных), каковыми являются, например, сферические угловые координаты. Иными словами, теоремы Лапласа и Пуассона можно интерпретировать как «теоремы об устойчивости по части переменных», но не «теоремы об устойчивости по Ляпунову», понятие которой было предложено А. М. Ляпуновым спустя полвека после работ Пуассона. Строго говоря, теоремы Лапласа и Пуассона не дали ни положительный, ни отрицательный ответ на вопрос об устойчивости Солнечной Системы, так как в то время проблема сходимости приближений в теории возмущений гамильтоновых систем, без решения которой невозможно перейти от формальной устойчивости к устойчивости решений в смысле Ляпунова, даже не была корректно сформулирована.
А.М.Ляпунов в своей докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» [1] предложил новое определение устойчивости частного решения дифференциальных уравнений и разработал общие методы исследования устойчивости, известные в математической литературе как Первый и Второй методы Ляпунова.
Идеи Ляпунова оказали существенное влияние практически на все теоретические и крупные технические разработки. Достаточно сказать, что если в начале XX века математики пользовались только восемью понятиями устойчивости (орбитальная устойчивость, устойчивость по Пуассону, устойчивость по Лагранжу и пять понятий устойчивости по Ляпунову), то в конце XX столетия уже известно около ста таких понятий, среди которых наиболее универсальными являются устойчивость при постоянно действующих возмущениях (Г.Н.Дубошин [10], Н. Т. Четаев [11], И. Г. Малкин [12]), устойчивость по части переменных (В.В.Румянцев [13], Е. А. Барбашин [14], Ф. Хартман [15], А. А. Шестаков [16] и др.) и устойчивость на конечном промежутке времени (Н.Д.Моисеев [17], Н. Н. Боголюбов [18], Е. А. Гребеников [19] и др.).
А.М.Ляпунов считал проблему устойчивости решений гамильтоновых систем математической задачей наивысшей трудности. Хорошо известно его знаменитое утверждение, что проблема устойчивости решений гамильтоновых уравнений не может быть решена ни на каком конечном шаге приближений. Более того, даже проблема неустойчивости этих решений не всегда может быть решена за конечное число приближений, т. е. сам Ляпунов подчеркивал, что его теоремы об устойчивости без дополнительных условий, которые в его время не были известны, в гамильтоновых системах неприменимы. Это касается первого и, вообще говоря, второго метода Ляпунова. Основная трудность при применении первого метода Ляпунова состоит в том, что матрица линейного приближения автономных гамильтоновых систем в окрестности любого положения равновесия является симплектической [20], то есть собственные значения являются попарно противоположными величинами. С другой стороны, основная трудность, неизбежно возникающая при использовании в космической динамике второго метода Ляпунова, состоит в том, что гамильтонианы задач космической динамики, как правило, не являются определенно положительной или определенно отрицательной функцией в смысле Ляпунова, поэтому они не могут быть использованы в качестве V-функций Ляпунова. Поиск других Vфункций Ляпунова весьма затруднителен.
Вклад А. Пуанкаре в качественную теорию также огромен. Он ввел понятие орбитальной устойчивости, сформулировал основные математические задачи гамильтоновой динамики и разработал методы асимптотического интегрирования уравнений, составляющие основу современной теории нелинейных колебаний. Основным объектом качественной теории не обязательно является конкретное решение, заданное функциональной зависимостью искомых функций от аргумента, а фазовое пространство, точки которого характеризуют состояние динамической или физической модели в целом и его эволюцию с течением времени. Согласно Пуанкаре, качественную теорию дифференциальных уравнений желательно сопровождать геометрической (топологической) интерпретацией дифференциальных уравнений как однопараметрического семейства преобразований фазового пространства. Поэтому системы космической динамики можно трактовать не только как автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, но и как непрерывную группу преобразований фазового гамильтонова пространства. Это особенно важно, если «погрузить» задачу космической динамики не в конфигурационное пространство обобщенных лагранжевых координат, а в фазовое гамильтоново пространство координат и импульсов.
А.Пуанкаре сформулировал основную проблему гамильтоновой динамики следующим образом.
Пусть задана 2пмерная гамильтонова система dp дН dq дН dt.
О) dq dt dp где гамильтониан.
H (p, q) = H0(p) + JuH](p, q), 0 < // «1, Hl (p, q) = Hl (j>, q + 2n), аналитичен на 2пмерном торроидальном симплектическом многообразии.
2).
Gm = 1 Р е Gjllm J <р< 1, lllm q =.
3) s=.
271 -периодичен по фазовым переменным qx, q2qn, а п — мерное многообразие Сп является множеством п — мерных торов в евклидовом пространстве R" .
По мнению Пуанкаре, необходимо выполнить полное аналитическое, качественное и численное исследование гамильтоновой системы (1). Такая постановка задачи возникла после доказательства им теоремы о несуществовании первых интегралов гамильтоновых уравнений задачи трех тел в виде однозначных трансцендентных функций [6]. Первоочередной задачей этих исследований Пуанкаре считал задачу определения всех равновесных решений (положений равновесия) уравнений (1) и исследования их орбитальной устойчивости и устойчивости в смысле Ляпунова.
Качественные и численные исследования этой системы способствуют решению гамильтоновых систем дифференциальных уравнений, описывающих конкретные задачи космической динамики, в том числе задачи космических перелетов. Особенностью последних является то обстоятельство, что траектории перелета всегда начинаются в окрестности одних особых точек дифференциальных уравнений движения и заканчиваются в окрестности других особых точек. Иными словами, необходимо изучить множества решений, инвариантных относительно изменения t, к которым относятся и равновесные решения, и области их притяжения (? — окрестности, прежде всего, устойчивых особых точек дифференциальных уравнений динамики).
Дж.Биркгоф, применяя и обобщая метод нормальных форм Пуанкаре, разработал общую теорию динамических систем [21]. На этой основе удалось получить новые существенные результаты в гамильтоновой космической динамике, отраженные, прежде всего, в известных исследованиях, К. Зигеля [22], А. Н. Колмогорова [23], В. И. Арнольда [24], Ю. Мозера [5], А. М. Леонтовича [25], Н. Н. Нехорошева [26], Ю. А. Рябова [27], А. П. Маркеева [3], В. Г. Демина [28], А. Г. Сокольского [29], В. Себехея [30], Д. Брауэра [31], Дж. Клеменса [31] и других авторов.
Существенным достижением КАМ-теории (теории квазипериодических решений дифференциальных уравнений, определенных на многомерных торах), развитой в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера, следует считать теоремы, касающиеся устойчивости по Ляпунову стационарных решений гамильтоновых систем 4-го порядка с аналитическим гамильтонианом. Гамильтонова система дифференциальных уравнений (1) является консервативной, поэтому стационарные решения могут быть особой точкой либо типа «центр» [54], окруженным множеством периодических решений (в случае устойчивости особой точки), либо типа «седло», в окрестности которого одно множество траекторий приближается к нему неограниченно, а другое множество траекторий удаляется от него при t —>• +оо.
В 1961 году В. И. Арнольд [4] опубликовал теорему об устойчивости в смысле Ляпунова равновесных решений гамильтоновой системы (1) с двумя степенями свободы в «эллиптическом случае» [21] (случай, когда матрица линеаризованной системы имеет только чисто мнимые собственные значения). Применяя теорему Арнольда к наиболее известной динамической модели — ограниченной проблеме трех тел, которая описывается гамильтоновой системой (1), А. М. Леонтович доказал устойчивость в смысле Ляпунова «треугольника Лагранжа» [25] для почти всех значений параметра /л из интервала линейной устойчивости. Для «исключенных» точек вопрос об устойчивости положений равновесия в смысле Ляпунова оставался открытым до появления результатов Ю. Мозера, позволивших свести бесконечное множество исключенных (резонансных) значений параметра ju только к трем таким значениям, которые требовали специального анализа устойчивости по Ляпунову треугольника Лагранжа.
Указанные результаты В. И. Арнольда и Ю. Мозера для удобства принято называть теоремой Арнольда — Мозера об устойчивости положений равновесия гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в общем эллиптическом случае. После этого А. П. Маркеев построил [3] нормальные формы Пуанкаре — Биркгофа для упомянутых выше трех резонансных значений параметра }Л и исследовал до конца проблему устойчивости треугольника Лагранжа. Таким образом 200-летняя история исследования устойчивости лагранжева треугольника, являющегося положением равновесия в ограниченной круговой задаче трех тел, получила окончательное завершение.
Перечисленные выше научные результаты существенно расширили возможности современной нелинейной динамики, однако при рассмотрении конкретных динамических моделей необходимы, как правило, дополнительные качественные исследования и вычислительные эксперименты, для определения границ пригодности созданной теории. И в этом смысле космическая динамика всегда служила научным полигоном для проверки математических идей и методов, связанных с теорией дифференциальных уравнений.
В статьях Е. А. Гребеникова [32,33] было обосновано существование новых моделей космической динамики, названных автором «ограниченными задачами п > 3 тел». В этих моделях ньютоново гравитационное поле создается притяжением «инерциального» правильного многоугольника Винтнера [34] или «неинерциального» правильного многоугольника Гребеникова — Эльмабсута [32,35], в вершинах которого находятся гравитирующие массы. И в этих гравитационных полях происходит движение пассивно гравитирующей массы. Сами многоугольники представляют собой точные стационарные решения типа «положения равновесия» в ньютоновой проблеме многих тел в некоторой вращающейся системе координат, угловая скорость которой определена точно. Различие между решением Винтнера и Гребеникова — Эльмабсута состоит в том, что в первом случае центром вращения системы тел является барицентр, а во втором случае — тело произвольной массы. Дифференциальные уравнения, описывающие ограниченные задачи многих тел, подобны ограниченной задаче трех тел [9,3], но имеют более сложную аналитическую структуру, сложность которой существенно возрастает с ростом числа п.
А.Винтнер в известной монографии [34] показал, что дифференциальные уравнения общей ньютоновой проблемы многих тел (массы всех тел отличны от нуля), написанные в барицентрических декартовых координатах, допускают существование двух классов точных частных решений, которые принято называть томографическими и гомотетичными решениями Лагранжа — Винтнера [36]. Геометрически эти частные решения изображаются фигурами, подобными для всех значений t фигурам, образованным гравитационными массами в начальный момент времени. Если такие геометрические фигуры обладают вращением в инерциальной барицентрической системе координат, то решения, их описывающие, принято называть томографическими [34]. Если же фигуры обладают только подобным расширением или сужением без вращения, то такие решения называются гомотетичными.
Б.Эльмабсут [35] и Е. А. Гребеников [32,33] доказали существование нового класса томографических решений общей проблемы п тел в неинерциальной системе декартовых координат с началом в одном из притягивающих тел. Решения Б. Эльмабсута инвариантны относительно группы вращений с постоянной угловой скоростью и образуют однопараметрическое семейство. Решения Е. А. Гребеникова топологически эквивалентны относительно специальной группы вращений и образуют трехмерное семейство решений. Эти решения геометрически изображаются правильными плоскими многоугольниками, вращающимися около одной из притягивающих масс. В первом случае угловая скорость вращения постоянна и линейные размеры вращающегося многоугольника инвариантны, во втором случае и угловая скорость и линейные размеры конфигурации переменны.
Статьи Е. А. Гребеникова послужили началом многочисленных исследований в ограниченных проблемах 4-х, 5-и, 6-и и 7-и тел [37,38]. Эти исследования касались, прежде всего, определения всех стационарных решений (типа положений равновесия) дифференциальных уравнений указанных моделей и исследования их устойчивости. Было показано, что все положения равновесия в ограниченных инерциальных задачах многих тел неустойчивы уже в первом приближении для любого п>3. В случае моделей Гребеникова — Эльмабсута были найдены интервалы устойчивости и неустойчивости положений равновесия в первом приближении и исследована их устойчивость по Ляпунову на основе КАМ-теории. Подчеркнем, что в перечисленных выше динамических моделях гравитирующая конфигурация является: для органиченной проблемы 4-х тел — прямолинейный отрезок, на концах которого расположены равные между собой массы, а в его серединепроизвольная массадля проблемы 5-и тел — равносторонний треугольник с равными в вершинах массами и с произвольной массой в его центредля проблемы 6-и тел — квадрат с равными в вершинах массами и с произвольной массой в его центредля проблемы 7-и тел — правильный пятиугольник с равными в вершинах массами и с произвольной массой в его центре. Из описания этих моделей не вытекает, что в ньютоновой проблеме многих тел отсутствуют центральные конфигурации гравитирующих масс с неполной геометрической и динамической симметрией, поэтому авторы работ [39,40,41,59,60] исследовали вопрос о существовании центральных конфигураций в смысле А. Винтнера [34] в общей ньютоновой проблеме 4-х тел и центральных конфигураций в смысле Гребеникова — Эльмабсута в проблеме 5-и тел с неполной симметрией. В результате этих исследований были получены необходимые и достаточные условия существования центральных конфигураций в форме ромба, которые во вращающемся декартовом пространстве являются стационарными решениями типа «положений равновесия» дифференциальных уравнений проблемы 4-х и 5-и гравитирующих тел. Тем самым было обосновано существование новой модели, названной нами ограниченной задачей шести тел с неполной симметрией. Геометрически эта модель изображается равномерно вращающимся плоским ромбом, в центре которого находится пятое тело с произвольной массой. Гравитирующий ромб создает вращающееся ньютоново гравитационное поле, определяющее динамическую и топологическую картину во всем конфигурационном или фазовом пространстве, в том числе и динамику пассивно гравитирующей (нулевой) массы, в соответствии с дифференциальными уравнениями ограниченной задачи многих тел. Таким образом, в неинерциальной ограниченной задаче шести тел с неполной симметрией шестое, пассивно гравитирующее тело, имеет нулевую массу и, очевидно, оно не возмущает движения остальных пяти тел. В цитируемых статьях [39,40,41,59,60] также доказано существование класса ромбоподобных томографических решений дифференциальных уравнений, описывающих динамику данной модели, и найдены необходимые для этого соотношения между массами гравитирующих тел, диагоналями ромба и угловой скоростью вращения ромба.
Настоящая диссертация посвящена решению Первой Проблемы Пуанкаре для новых моделей космической динамики — ограниченных ньютоновых задач 6-и тел и 5-и тел с неполной симметрией, а именно:
1. Выведены необходимые и достаточные условия существования стационарных решений типа «положений равновесия» дифференциальных уравнений ограниченной неинерциальной задачи 6-и тел и барицентрической ограниченной задачи 5-и тел с неполной симметрией. Разработаны графические и численные методы их нахождения.
2. Исследована линейная устойчивость указанных стационарных решений, найдены параметрические интервалы устойчивости и неустойчивости, сформулированы и доказаны соответствующие теоремы.
3. В окрестности устойчивых в первом приближении положений равновесия методами компьютерной алгебры реализована нормализация по Биркгофу гамильтонианов, необходимая для исследования устойчивости по Ляпунову этих положений равновесия.
4. Рассмотрены все условия известной теоремы Арнольда-Мозера применительно к ограниченной ньютоновой проблеме 6-и тел с неполной симметрией, сформулирована и доказана основная теорема об устойчивости в смысле Ляпунова положений равновесия в указанной динамической модели.
Кроме того, нами выполнены и другие качественные исследования свойств томографических решений.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Кроме того, различные таблицы объединены в отдельном Приложении.
основные результаты:
1. Выведены необходимые и достаточные условия существования равновесных решений дифференциальных уравнений ограниченной неинерциальной задачи 6-и тел и барицентрической ограниченной задачи 5-и тел с неполной симметрией. Разработаны аналитические методы их определения.
2. Доказаны теоремы о неустойчивости равновесных решений ограниченной неинерциальной задачи 6-и тел, находящихся на осях координат, для любых значений гравитационного и геометрического параметров.
3. Доказаны теоремы о неустойчивости равновесных решений ограниченной задачи 5-и тел для любых значений гравитационного и геометрического параметров.
4. Доказаны теоремы об устойчивости в первом приближении равновесных решений ограниченной неинерциальной задачи 6-и тел, не находящихся на осях координат. Определены интервалы изменения гравитационного и геометрического параметров линейной устойчивости.
5. Методами компьютерной алгебры построена цепочка канонических преобразований Биркгофа, приводящих гамильтониан задачи 6-и тел к форме, необходимой для применения теоремы Арнольда — Мозера об устойчивости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в эллиптическом случае.
6. Сформулирован и доказан основной результат диссертации об устойчивости в смысле Ляпунова равновесных решений дифференциальных уравнений ньютоновой задачи 6-и тел с неполной симметрией, не лежащих на осях координат,.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В настоящей диссертационной работе получены следующие.
