Исследования пространственно-временной эволюции, устойчивости, динамики взаимодействия и разрушения двумерных нелинейных образований вихревого типа в сплошных средах, включая атмосферу и гидросферу Земли, атмосферы других планет, а также плазму ионосферы и магнитосферы Земли, стали актуальными в последние два с половиной десятилетия в связи с открытием так называемых когерентных структур. В природе такие структуры существуют в виде атмосферных циклонов и антициклонов, рингов Гольфстрима, грибовидных и триполярных структур, синоптических вихрей в океане, вихрей Россби, дрейфовых вихрей в плазме и др.
С начала 80-х годов когерентные вихри стали объектом усиленного изучения как в физике плазмы, так и в динамике геофизических непрерывных сред. Эти исследования были стимулированы открытием в 1979 г. Хасегавой и др. [1] аналогии между уравнением Хасегавы-Мима [2], описывающим нелинейные дрейфовые волны (вихри) в замагниченной плазме, и уравнением баротропной завихренности, которое в течение длительного времени использовалось для описания крупномасштабных вихревых течений в атмосфере и океане. В 1980 году В. И. Петвиашвили [3] обобщил уравнение Хасегавы-Мима с учетом эффектов возмущения среды большой амплитуды в случае геофизических объектов и градиентов электронной температуры — в случае плазмы. При этом было установлено, что уравнения вихревого движения в атмосфере и плазме сводятся к одному уравнению, имеющему решение в виде двумерных круговых вихрей-антициклонов, перемещающихся в западном направлении, или солитонов-антициклонов, размер которых больше характерного размера дисперсии. Уникальность решения Петвиашвили заключается в том, что оно описывает плавный переход солитонов в вихри.
Работа В. И. Петвиашвили стимулировала многих исследователей к изучению стационарно распространяющихся монопольных вихрей как в динамике геофизических сред, так и в физике плазмы. Например, идея экспериментального исследования вихрей в атмосфере (океане) и дрейфовых вихрей в плазме на «мелкой» воде во вращающемся сосуде с профилем, близким к параболоиду, предложенная Петвиашвили в [3], была успешно осуществлена группой Незли-на [4] (Институт атомной энергии им. Курчатова), а также Ломинадзе и др. [5] в Абастуманской астрофизической обсерватории. В частности, по результатам экспериментов был сделан вывод о дуализме вихрей Россби, которые одновременно проявляют свойства и вихрей, и волн.
Динамика вихрей составляет обширный раздел физики жидкости, газа и плазмы. Вихревые структуры участвуют в процессе турбулентного переноса, поэтому исследование общей динамики вихрей представляет непосредственный практический интерес. Часто в природе и в лабораторных установках (плазменных и гидродинамических) под влиянием определённых физических причин движение среды становится квазидвумерным. В атмосфере и океане такими причинами являются вращение планеты (сила Кориолиса) и стратификация жидкости по плотности, в плазме — это магнитное поле (сила Лоренца). В двумерном случае для локальных вихревых образований характерно сохранение завихренности внутри некоторой области, что сильно ограничивает возможность распада таких структур, поэтому устойчивые вихри становятся существенными элементами динамики среды и их исследование является важной задачей как для построения общей вихревой теории, так и для отдельных разделов физики атмосферы, геофизической гидродинамики и физики плазмы, связанных с изучением разнообразных вихревых движений.
Настоящая работа посвящена численному исследованию вихревых областей конечной площади (ВОКП) [6,7], которые представляют собой в двумерном случае связную конечную область однородной завихренности, окруженную не-завихрённой средой. Такие объекты интересны тем, что их изучение играет важную роль при моделировании атмосферных, гидродинамических вихрей, вихревых структур в замагниченной плазме, а также при исследовании общей динамики вихревых образований.
Простейшее вихревое пятно представляет собой вихрь Рэнкина — это круг радиуса R в неограниченной жидкости. Кирхгоф показал [8], что для эллиптической области с главными полуосями, а и b угловая скорость вращения такого вихря определяется соотношением r ab ат ~ 0>О о" > а + ЬУ где Q) — постоянная завихренность.
Г. Лэмб обобщил это решение на круговые области, к границе которых приложено возмущение малой амплитуды г = Rq [1 + е cos (та — соmt), где т — порядок симметрии вихревого пятна (мода), Rq — условный радиус ВОКП, в — эксцентриситет, а — угол. В этом случае угловая скорость т-ой моды в лабораторной системе отсчета cow I тат =-= —• т 1 т
Например, эллиптические волны {т = 2) вращаются в том же направлении, что и частицы жидкости на границе, но с вдвое меньшей скоростью. Моды высшего порядка имеют меньшие периоды вращения: 2я 4пт ат (т-1)
Как показал Лэмб, колебания эллиптической границы имеют период
Со Ьа который, следовательно, является функцией отношения большой и малой полуосей (Ыа).
Мур и Сэффмен [9] обобщили решение Кирхгофа на случай, когда поле скоростей подвергается внешней деформации. Решая аналитически уравнения для вихревых пятен, они приходят к выводу, что стационарные эллиптические пятна во внешнем однородном поле деформации скоростей не могут существовать, если деформация слишком велика или мала завихренность ВОКП. Нестационарный случай рассмотрен Кида [10], Нью [11] и Джименесом [12]. Согласно их исследованиям, вихри вытягиваются в длинные тонкие эллипсы вдоль главной оси.
Отметим, что аналитическое исследование локальных вихревых образований, восходящее к трудам Декарта, представляет собой трудоёмкую, а в некоторых случаях невыполнимую задачу, поскольку сложные эволюционные уравнения, описывающие динамику вихрей, являются нелинейными. Точные стационарные решения для однородных вихревых пятен исчерпываются вихрем Кирхгофа и обобщениями Мура-Сэффмена. Для неоднородных же вихревых пятен известны некоторые точные решения, например, полый вихрь Хилла [13], вихревая пара Лэмба [8], пара полых вихрей Поклингтона [14], линейный ряд полых вихрей Бэйкера, Сэффмена и Шеффилда [15]. Возможно, существует целое множество точных решений такого рода и алгоритм построения семейств таких решений. Например, с использованием метода комплексных лагранжевых координат в работе [16] показано, что уравнениям гидродинамики удовлетворяет некоторый класс вихревых нестационарных течений, включающих в себя, как частные случаи, известные точные решения — вихрь Кирхгофа и волны Герстнера. Эта теория применяется, в частности, для аналитического исследования динамики локализованной вихревой области с произвольной формой границы в начальный момент времени. Другой подход — это использование гамильтонова формализма [17], благодаря которому можно проводить исследования эволюции уединённых вихревых пятен с различными порядками осевой симметрии, а также динамики N точечных вихрей. Однако этот подход нельзя применить к исследованию эволюции многовихревых систем, когда вихри представляют собой конечные области с постоянной завих]$&т®Еор0м результаты аналитических и численных исследований различных равновесные конфигурации вихревых образований. Остановимся вначале на уединенных вихревых пятнах, вращающихся в покоящейся жидкости. Как отметили Дим и Забуски [18], вихрь Кирхгофа — это лишь один из представителей бесконечного семейства вращающихся вихрей с т-полигональной симметрией. Ими была построена кривая зависимости периода вращения ВОКП от порядка симметрии т.
Численные исследования Дима и Забуски привели к предположению, что каждая ветвь бифуркаций (при т > 2) заканчивается в точке, в которой форма пятна принимает вид криволинейного многоугольника. Выполненный Сэффме-ном и Сцето [19] анализ, показывает, что внутренние углы многоугольников прямые, а их кривизна в вершинах обращается в бесконечность. Такие вихревые пятна устойчивы относительно инфинитезимальных возмущений, но нельзя исключить возможность дальнейших бифуркаций, ослабляющих симметрию их формы. Конкретные вычисления применительно к вихрю Кирхгофа выполнены Муром и Сэффменом в [9]. Используя эллиптические криволинейные координаты, они показали, что частоты со возмущений, развивающихся на фоне вихря Кирхгофа, который обладает симметрией т-то порядка, выражается равенством
Они также показали, что при отношении полуосей alb = 3 мода m — 2 становится неустойчивой, в результате чего рождается новое семейство решений, описывающих несимметричные пятна, которые, однако, неустойчивы относительно возмущений с симметрией второго порядка. Последующие бифуркации происходят при значениях а/Ь, для которых со обращается в ноль при любых Свойства таких решений подробно исследовал Камм [20].
Мур и Сэффмен [9] исследовали также свойства устойчивости двумерных инфинитезимальных возмущений на фоне эллиптического вихря, подверженного однородной деформации. В этом случае
2 mab (а + bf"
2., 2 2, /2 а + b, а + b
Отсюда следует, что такой эллиптический вихрь линейно устойчив при а! Ь< (а/Ь)с и неустойчив в противном случае. Семейство неэллиптических вихрей рождается при значениях alb, для которых со = 0, при т > 2. Такого рода бифуркации исследовались также Каммом [20].
Численные исследования изолированных ВОКП, выполненные Димом и Забуски [18], а также Дритчелом [21], показывают, что с течением времени на границе вихря появляются точки заострения (укручение), которые затем переходят в нити. Этот процесс называется «филаментацией». Такого развития событий можно было ожидать в случае неустойчивых вихревых пятен [22]. Однако, филаментация происходит и в случае устойчивых (в рамках линейной теории) ВОКП круговой и эллиптической формы. Укручение и филаментация наблюдаются также в слоях однородной завихренности, расположенной в окрестности твердой стенки. Эти исследования были проведены Дритчелом в [21] и Пуллином [23]. При этом необходимо отметить, что существует нелинейный механизм вторичной неустойчивости не слишком толстых слоев, ускоряющий процесс филаментации (Пуллин и др. [24]).
Анализ, выполненный Чемином [25], показывает, что нелинейное укручение не приводит к образованию углов и острых выступов на границе. Из соображений размерности время tB, которое требуется, чтобы выпуклое возмущение на границе кругового однородного вихревого пятна в результате укручения вызвало филаментацию, выражается формулой
1 г tB'-f
I h
V^o RoJ
Здесь Rq и С, — радиус и завихренность пятна, a h и / - амплитуда и ширина возмущения соответственно. Расчёты Дритчела [21], подтверждённые в какой-то мере результатами Пуллина и Мура [26], дают оценку т юо/л
15 +
V nRo)
InQi'
Для пятен эллиптической формы с отношением осей а/Ь>3 филаментация наблюдается также в слоях однородной завихренности, расположенных в окрестности твёрдой стенки [23]. В этом случае нелинейный механизм вторичной неустойчивости может, как упоминалось выше, приводить к ускорению фила-ментации при условии, что слой не слишком толстый.
Существует интересное различие между филаментациями вихревого пятна и слоя. В первом случае филаментация экструзивна, т. е. тонкие нити завихренности проникают в незавихренную жидкость. Во втором случае она интрузивна: нити незавихренной жидкости внедряются в слой с ненулевой завихренностью. В работе Пуллина и др. [24] высказаны соображения, что это различие скорее кажущееся, поскольку для описания эволюции пятна следует пользоваться системой отсчёта, в которой выпуклость границы квазистационарна. В такой системе отсчёта внешняя жидкость обладает ненулевой завихренностью.
Марсден и Вейнстейн [27], а также Дритчел [21] сформулировали квазилинейное уравнение эволюции малых возмущений на границе однородного кругового вихревого пятна. А. Рухи (частное сообщение) вывел эволюционные уравнения для слоя однородной завихренности, ограниченного бесконечной плоской стенкой, решение которого ищется в классе возмущений, периодических с периодом L в направлении параллельной стенке оси х.
Структура пары вихрей с равными по величине, но противоположными по знаку циркуляциями ± Г, совершающей поступательное движение с постоянной скоростью V описана Димом и Забуски [28]. Пьерхамберт [29] рассчитал семейство таких решений в зависимости от параметра 0 = Rq / г, где /?о — эффективный радиус каждого вихря, а 2 г — расстояние между их центрами. При 9 «1 вихри движутся со скоростью Vq = Г/4Т1Г без изменения формы, близкой к форме круга. С увеличением 6 и уменьшением просвета между вихрями отношение VIVq уменьшается от единицы до 0.6, а аспектное отношение (длина/ширина) возрастает от единицы до 3.34. Предельное значение 0 равно 2.16.
Пара соприкасающихся вихрей движется со скоростью Vc — 0.16д/52, где S — площадь каждого вихря. Предельное отношение 8/(длина вихря) = 0.22. Существование соответствующего ему предельного решения следует из численных результатов. Оно было рассчитано Садовским [30], затем Сэффменом и Тэнвиром [31], которые исправили ошибку в формулировке Пьерхамберта.
Точные решения в замкнутом виде для пары полых вихрей были получены Поклингтоном [14] (а также Тэнвиром [32]). Их аспектное отношение при В -> оо стремится к бесконечности, причём для соприкасающихся полых вихрей предельного решения не существует.
Устойчивость пары вихрей с противоположными знаками завихренности, по-видимому, детально не исследовалась, но есть основания полагать, что они устойчивы. Из доказательства существования решений, сделанного Киди [33] на основе вариационного принципа, следует, что скорость движения пары вихревых пятен с циркуляциями ± Г меньше скорости движения пары точечных вихрей с такими же циркуляциями, расположенных на расстоянии, равном расстоянию между центрами завихренности пятен.
Установившееся движение пары пятен одного знака завихренности численно исследовалось Сэффменом и Сцето [34] методом контурной динамики. Сильно удалённые пятна имеют форму, близкую к круговой. Деформация пятен усиливается с уменьшением расстояния между ними вплоть до соприкосновения. С увеличением Sir", где S— площадь каждого пятна, а г — расстояние между их центрами завихренности, просвет 5 между пятнами уменьшается. Соприкосновение происходит при Sir = 0.3122 [20]. Сэффменом и Сцето также была получена зависимость величины 5// от Sir, из которой следует, что максимальное значение площади пятна превышает её критическое значение, соответствующее соприкосновению пятен. В данном случае это, однако, не связано с изменением характера устойчивости. Соприкосновение происходит в точке с абсциссой
0.3121 в которой момент импульса и регулярная составляющая энергии принимают соответственно минимальное и максимальное значения.
При Sir' = 0 безразмерный момент импульса J равен бесконечности и с
2 2 увеличением Sir убывает до минимального значения при Sir — 0.3121, затем возрастает, пока не произойдёт соприкосновение вихрей. Аналогично ведёт себя кинетическая энергия Т, за исключением того, что она сначала возрастает, затем убывает. Минимум J и максимум Т достигаются при одном и том же значении Sir'. Это следует из вариационного принципа Кельвина и означает, что при этом значении происходит смена устойчивого состояния на неустойчивое относительно двумерных инфинитезимальных возмущений, поскольку лишь одна из ветвей (нижняя) соответствует минимуму функционала энергии.
Это согласуется с расчётами Камма устойчивости пары одноименно завихренных пятен в линейной постановке задачи. После соприкосновения вихри объединяются и принимают форму гантели, как это происходит с односвязны-ми эллиптическими вихрями Кирхгофа под влиянием бифуркаций.
Точное решение в замкнутом виде для соприкасающихся пятен неоднородной завихренности приводится в книге Лэмба [8]. Д. Блисс (1970, частное сообщение) обратил внимание на то, что решение Ламба можно обобщить так, чтобы оно описывало вращение соприкасающейся вихревой пары с постоянной угловой скоростью CD.
Сэффмен и Сцето [19], а также Пьерхамберт и Уиднэлл [35] исследовали свойства линейной цепочки вихревых пятен одинаковой площади S и циркуляции Г, центры которых расположены на прямой с постоянным интервалом г. Исследование проводилось численно методом контурной динамики.
Ими были получены следующие результаты. С увеличением безразмерного параметра Sir2 от нуля до предельного значения просвет между вихревыми пятнами уменьшается. Форма пятен малых размеров близка к круговой, а пятен больших размеров — к эллиптической. Конфигурация цепочки определяется упомянутым внешним параметром 0 = Sir2. Уместно отметить, что решения с эллиптической симметрией существуют только при 9 < 0.2377 — максимального или предельного значения, не совпадающего с критическим значением, соответствующим соприкосновению пятен [20]. Наличие предельного значения 9 означает существование в его окрестности различных решений с одинаковой площадью пятен и, следовательно, нейтральную устойчивость предельного решения относительно инфинитезимальных возмущений. Поскольку течение невязкое и время обратимо, можно предположить, что в точке нейтральной устойчивости появляются кратные собственные значения и происходит переход от устойчивого относительно инфинитезимальных возмущений состояния к неустойчивому. Это — так называемая супергармоническая неустойчивость, исследованная Муром и Сэффменом [36].
С другой стороны, согласно вариационному принципу Кельвина переход ог устойчивого состояния к неустойчивому происходит в точке экстремума регулярной составляющей кинетической энергии. Таким образом, можно ожидать, что в предельной точке кинетическая энергия как функция 9 имеет максимум или минимум. Сэффмен и Сцето численно показали, что минимуму энергии соответствует максимальная площадь. Аналитически это утверждение проверил Бэйкер [37] для линейной цепочки полых вихрей, также рассматривавшейся в работе Бэйкера, Сэффмена и Шеффилда [15]. При достижении критического значения 9 происходит соприкосновение пятен, и семейство дискретных цепочек вихрей превращается в семейство связанных вихрей или волн конечной амплитуды на вихревой пелене конечной толщины. Критическая длина волны, при которой из пелены постоянной толщины 2Ъ рождается семейство волн, равна 9.83Ь. Форма и свойства такого семейства волн не зависят от Г, которая определяет лишь временные масштабы течения.
Таковы основные результаты исследований динамики вихревых областей конечной площади, проводимых с использованием аналитических и численных методов. Подводя итог, определим некоторые вопросы, которые в настоящее время остались нерешенными. Исследование эволюции пары вихрей с одинаковыми знаками завихренности, проводившееся во многих работах, всё же является не достаточно полным, поскольку не определены наиболее общие критерии устойчивости, позволяющие прогнозировать характер взаимодействия такой системы, хотя в некоторых работах (например [34]) вводится некоторый критический параметр, зависящий от расстояния между центрами завихрённо-стей, который разделяет два режима взаимодействия, однако он не обладает достаточной общностью, поскольку не учитывает величины завихрённостей, формы вихрей, их первоначальной конфигурации. Для многовихревых образований одинаковой полярности были изучены только линейные конфигурации, при этом практически отсутствуют работы по исследованию систем с симметричным расположением вихрей. Из имеющихся по этому вопросу публикаций, начиная с работ лорда Кельвина, подавляющее большинство относится к изучению точечных вихрей, тогда как для вихрей конечной площади характер взаимодействия несколько отличается. Как уже отмечалось, устойчивость пары вихрей с противоположными знаками завихренности детально не изучалась, к этому добавим, что не была также исследована эволюция многовихревых систем, состоящих из ВОКП разной полярности.
Исходя из вышесказанного, можно определить объект исследования — это локальные вихревые образования, возникающие в атмосфере и гидросфере и замагниченной плазме. Предметом исследования является их пространственно-временная эволюция, условия и критерии устойчивости, а также динамика их взаимодействия и разрушения.
Целью работы является численное исследование пространственно-временной эволюции и динамики взаимодействия вихревых структур в атмосфере и гидросфере, а также в плазме.
Решаемые задачи:
1) исследование структуры, пространственно-временной эволюции и устойчивости уединенных вихревых областей относительно возмущений их формы;
2) изучение режимов взаимодействия ВОКП, вычисление параметров, определяющих устойчивость УУ-вихревой системы, с целью прогнозирования характера взаимодействия вихревых структур, численное исследование эволюции и динамики TV-вихревых систем;
3) исследование динамики трехмерных вихревых структур в плоскослоистых средах («квазидвумерное» приближение), изучение эволюции и взаимодействия 3D вихревых систем;
4) исследование динамики потоков заряженных частиц (заряженных нитей) в однородном магнитном поле;
5) приложения результатов исследований к изучению некоторых проблем вихревой динамики в атмосфере и гидросфере: моделирование эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых структур и вихрей в океане, а также образований вихревого типа в плазме: вихревых и спиральных структур в магнитосфере Земли и пылевой плазме;
6) развитие метода контурной динамики с целью улучшения его точностных характеристик и обеспечения возможности численного интегрирования систем эйлерового типа и соответствующих интегродифференциальных уравнений на больших временных интервалах.
Методологической и теоретической базой исследований послужили работы Г. Лэмба [8], Дж. Сэффмана [6] и В. И. Петвиашвили [3], в которых развиты основные положения теории вихревых движений и выполнено обобщение теории геофизических процессов и явлений в замагниченной плазме. При интерпретации полученных результатов мы опирались на работы М. А. Соколовского и В. Ф. Козлова [38−40]. Метод компьютерного моделирования, использованный нами в работе, представляет собой модификацию и обобщение метода контурной динамики (КД), развитого Н.Дж. Забуски, Д. И. Пуллином и Д. Ж. Дритчелом [7, 41, 42].
Научная новизна работы определяется следующими результатами:
1. Исследована динамика уединённых вихревых областей, впервые установлено, что для ВОКП эллиптической формы могут иметь место три типа эволюции, которые определяются значением эксцентриситета.
2. Впервые изучены режимы взаимодействия вихревых областей конечной площади и найдены параметры, определяющие режим взаимодействия и устойчивость вихревой системы, получен критерий устойчивости парного взаимодействия в TV-вихревой системе, позволяющий осуществлять прогнозирование характера и результат взаимодействия ВОКП.
3. Исследовано взаимодействие многовихревых систем (в частности, трёхи четырёхвихревых) симметричной начальной конфигурации, показано отличие во взаимодействии однополярных и разнополярных вихревых областей, в численных экспериментах впервые установлено, что взаимодействие разнополярных ВОКП происходит более интенсивно.
4. Впервые, в рамках «квазидвумерного» подхода, численно исследована структура, эволюция и динамика взаимодействия трехмерных вихревых образований в плоско слоистых средах. Показано, что характер взаимодействия в 3D вихревой системе определяется конфигурацией и полярностью «вихревых трубок», а его интенсивность наиболее высока в средних слоях.
5. Численно исследована динамика развития и взаимодействия поперечных возмущений заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в однородном магнитном поле. Впервые показано, что характер эволюции определяется амплитудой возмущения, количеством взаимодействующих нитей, плотностью их распределения и знаком заряда частиц.
6. Изучены приложения результатов к задачам исследования динамики некоторых типов вихревых систем в атмосфере, гидросфере и плазме: моделированию эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых образований, вихрей в океане, а также структур вихревого типа в магнитосфере Земли и пылевой плазме.
7. Выполнена модификация метода КД, что позволило значительно улучшить его точностные характеристики и обеспечило возможность численного исследования эволюции и динамики взаимодействия 2D и 3D локальных вихревых возмущений в различных геофизических средах на значительных временных интервалах при существенной экономии времени счёта.
На защиту выносятся:
1. Результаты численного исследования структуры, пространственно-временной эволюции уединённых вихревых образований и динамики взаимодействия TV-вихревых систем;
2. Критерии устойчивости парного и четырёхвихревого взаимодействия в Л^-вихревой системе, приложения к изучению вихревых движений в атмосфере и гидросфере;
3. Результаты исследования структуры, эволюции и динамики взаимодействия трехмерных вихревых образований в плоскослоистых средах;
4. Результаты исследования динамики развития и взаимодействия поперечных возмущений заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в замаг-ниченной плазме, приложения к изучению структур вихревого типа в магнитосфере Земли;
5. Модификация метода контурной динамики, связанная с улучшением его точностных характеристик и расширением возможностей использования в задачах моделирования динамики вихревых структур.
Практическая ценность работы определяется новыми результатами, уточняющими картину эволюции вихревых образований, возникающих в атмосфере, гидросфере и плазме, их взаимодействия и разрушения. Усовершенствованный метод контурной динамики и разработанные на его основе алгоритм и компьютерная программа моделирования динамики вихревых структур являются эффективным средством исследования вихревых движений в сплошных средах, включая вопросы прогнозирования эволюции вихревых систем. Результаты, полученные в диссертации, используются в КГЭУ в работах по исследованию динамики неодномерных нелинейных структур солитонного и вихревого типов в сплошных средах и внедрены в лекционный курс «Математические методы моделирования физических процессов», читаемый в КГЭУ.
Апробация работы
Результаты исследований были представлены и обсуждались на VII и VIII научных конференциях аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета (Магадан, 2000, 2001) — III Международном симпозиуме по энергетике, окружающей среде и экономике РНС-ЭЭЭ (Казань, 10−14 сентября 2001) — Республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н. И. Лобачевского (Казань, 2002) — Школесеминаре акад. В. Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 1−4 октября 2002) — 11th International Congress on Plasma Physics (Sydney, Australia, July 15−19, 2002), 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (S.-Petersburg, Russia, July 7−11, 2003) — Joint International Scientific Conference «New Geometry of Nature: Mathematics, Geophysics» (Kazan, August 25 -September 5, 2003) — IV Intern. Conf. Plasma Physics and Plasma Technology (Minsk, Belarus, September 15−19, 2003) — Теоретическом семинаре научно-исследовательской лаборатории «Физика плазмы» ИОФАН (Москва, январь 2004) — III Молодёжной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Н. Новгород, 26−27 мая 2004) — Общегородском научном семинаре «Теория и компьютерное моделирование нелинейных и нестационарных процессов в физических средах» (Казань, КГЭУ, 2001;2004).
Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований: гранты РФФИ № 01−02−16 116, № 02−03−6 172 (MAC), Академией наук Республики Татарстан: грант № 02−2(Г).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, из них 3 статьи, 6 полных текстов докладов в сборниках трудов международных и всероссийских научных конференций и симпозиумов, 11 тезисов докладов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, содержит 122 страницы машинописного текста, 36 рисунков, 8 таблиц, 110 наименований использованной литературы.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах (приведены в хронологическом порядке):
1. Сингатулин P.M. Стационарные-состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение//Идеи, гипотезы, поиск.: Сб. статей по материалам VII науч. конф. аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета. Магадан: Изд. СМУ, 2000. — С. 16−17.
2. Сингатулин P.M. Численное моделирование эволюции вихревых структур с разными порядками симметрии//Идеи, гипотезы, поиск.: Сб. статей по материалам VIII науч. конф. аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета. Магадан: Изд. СМУ, 2001. — С. 12−16.
3. Сингатулин P.M. Применение метода контурной динамики к явлениям, описываемым уравнениями эйлерового типа//П Межвузовская научно-практич. студ. конф. 17−18 апреля 2001 г. Тезисы докладов. Магадан: Изд. СМУ, 2001. С. 98−100.
4. Белашов В. Ю., Сингатулин P.M. Моделирование эволюции вихревых структур в рабочих камерах энергетических установок//Тр. 111 Межд. симп. по энергетике, окружающей среде и экономике РНС-ЭЭЭ, Казань, 10−14 сентября 2001 г. Т. 2. Казань: КГЭУ, 2001. — С. 260−263.
5. Белашов В. Ю., Сингатулин P.M. Компьютерное моделирование эволюции вихревых структур в сплошных средах//Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2001. № 9−10. С. 103−109.
6. Белашов В. Ю., Сингатулин P.M. Численное исследование эволюции Г-состояний в сплошных средах//1У Научно-практич. конф. молодых ученых и специалистов РТ, Казань, 11−12 декабря 2001 г. Тезисы докладов. Кн. 3. Физико-математическое и техническое направление. Казань: Изд-во «Мастер Лайн»,
2001.-С. 41.
7. Сингатулин P.M. Численное исследование динамики вихревых структур/УРеспубликанский конкурс научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н. И. Лобачевского, Казань, 2002 г. Сб. тезисов итоговой конференции. Т. II. Казань: КГУ, 2002. — С. 106−107.
8. Белашов В. Ю., Сингатулин P.M. Исследование влияния конфигурации вихревых структур на их взаимодействие//Тр. Школы-семинара акад. В. Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении», Казань, 1−4 октября 2002 г. Казань: КГЭУ, 2002. — С. 50−52.
9. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//11th Intern. Congress on Plasma Physics, July 15−19,
2002, Sydney, Australia. P. 107.
10. Белашов В. Ю., Сингатулин P.M. Алгоритм метода контурной динамики и моделирование вихревых структур. Деп. в ВИНИТИ № 272-В2003. Казань: КГЭУ, 2003.-39 с.
1 1. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//Proc. of 11th Intern. Congress on Plasma Physics. American Institute of Physics (AIP). Conference Proceedings, 2003. Pp. 609−612.
12. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of the Vortex Structures1 Interaction in Dependence on Their Symmetry Order and Geometry of the System. New Geometry of Nature. Mathematics, Mechanics, Geophysics, Astronomy & Biology. Joint Intern. Sci. Conf., Aug. 25 — Sept. 5, 2003. Kazan State University, Russia. V.l. Pp. 45−50.
13. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//30th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 7−11 July, St. Petersburg, 2003. ECA. Vol. 27A. P-2.200.
14. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Application of CD-Algorithm to Study of Vortices in Plasmas and Fluids//IV Intern. Conf. «Plasma Physics and Plasma Technology — PPPT-4», Sept. 15−19 2003, Minsk, Belarus, 2003. Pp. 892−895.
15. Белашов В. Ю., Сингатулин P.M. О критических параметрах взаимодействия вихревых структур. Деп. в ВИНИТИ № 496-В2004. Казань: КГЭУ, 2004. — 22 с.
16. Сингатулин P.M. Нелинейная динамика вихревых структур в жидкости и плазме//Ш молодёжная научн.-техн. конф. «Будущее технической науки», Н. Новгород, 26−27 мая 2004 г. Тезисы докладов. Н. Новгород: ННГТУ, 2004. -С. 275.
В заключение автор выражает благодарность доктору физико-математических наук профессору В. Ю. Белашову за руководство работой, а также доктору физико-математических наук профессору С. В. Владимирову за ценные замечания и полезные обсуждения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
