Повторные независимые испытания. 
Формула Бернулли

Опыты называются независимыми, если вероятность каждого исхода любого опыта не изменяется от того, какие исходы имели другие опыты. Пусть производится п независимых опытов и известна Р (А) = р — вероятность появления события А в каждом из опытов (Р (А) = 1 -р = q). Тогда вероятность того, что в п независимых опытах событие, А появится ровно к раз, равна по формуле Бернулли:

Число к = к₀, при котором вероятность Р_п(к) принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом появления события.

Если (п + 1) р — число дробное, то к₀ равно целой части числа (п + + 1) р. Если же (п + 1) р — число целое, то к₀ принимает два значения: к₀ = (п + 1) р — 1 и к₀ = (п + 1) р.

Пример^[1]. Предположим, что 30% студентов университета отличники. Какова вероятность того, что среди первых пяти встречных студентов окажется только один отличник? Какова вероятность того, что среди них есть хотя бы один отличник? Каково наиболее вероятное число отличников среди них?

Решение. Поскольку студентов в университете много (несколько тысяч), то по мере опроса нескольких из них пропорции в оставшейся части практически не изменяются. Поэтому можно считать опрос каждого студента независимым опытом. Всего опытов производится п = 5, а вероятность положительного ответа р = 0,3. Вычисление по формуле Бернулли дает следующий результат:

Вероятность хотя бы одного правильного ответа проще вычислять, по противоположному событию: Р₅(к> 1) 1 — (0,7)⁵ = 1 — -0,16 807 = 0,83 193. Поскольку (п + 1) р = (5 + 1)0,3 = 1,8 (целая часть числа равна 1), наиболее вероятное число отличников среди пяти опрошенных к₀ = 1.

Ответ. 0,36 015; 0,83 193; 1.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона относится к числу важнейших теоретических распределений, имеющих практическое применение. Данное распределение принимает классическую форму в случае, если значения признака имеют дискретный характер х = 0, 1, 2, = 0, 1, 2, 3, = 0 … и являются результатом редко возникающего события, причем с увеличением значений признака вероятность наступления события уменьшается. Распределение Пуассона называют распределением редких событий. Это распределение наблюдается в тех совокупностях, число единиц которых достаточно велико, N > 100, а доля единиц, которые обладают большими значениями признака, мала. При этом средняя арифметическая величина и дисперсия, вычисленные на основании эмпирических данных, как правило, совпадают или незначительно различаются между собой. Распределение Пуассона характеризуется одним параметром — средней величиной а = х — средняя арифметическая ряда.

Распределение Пуассона выражается формулой.

где Р (х) — веорятность того, что признак примет то или иное значение; а = х — средняя арифметическая ряда; е = 2,7183 — основание натуральных логарифмов; х! — произведение натуральных чисел l-2-З…х (факториал).

Последовательность расчета теоретических частот кривой распределения Пуассона:

• • находят среднюю арифметическую ряда а = х;
• • по таблицам определяют е~^а;
• • для каждого значения х вычисляют теоретическую частоту по формуле

где N — объем изучаемой совокупности.

По закону Пуассона распределяются редкие случайные события, современной биологии: частоты мутаций, численность перезимовавших клонов насекомых, рождение троен у одноплодных животных и т. п.

Пример. В стаде крупного рогатого скота бестужевской породы (N = = 400 коров) последовательно из года в год рождались тройни. Результаты представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Тройни в стаде скота бестужевской породы

Вычислим среднюю арифметическую ряда и дисперсию:

Поскольку х = а², имеем основание полагать о подчинении данного распределения закону Пуассона. Поскольку а = х = 0,28, по таблице приложения находим значение е^-0'²⁸ = 0,7558.

Определим теоретические расчеты /•':

• [1] Крупин В. Г., Павлов А. Л., Попов Л. Г. Высшая математика. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Сборник задач с решениями: учеб, пособие. М.: Издательский дом МЭИ, 2013.