Общий метод расчета цепи на основе законов Ома и Кирхгофа

Общий метод расчета токов и напряжений в электрической цепи на основе законов Ома и Кирхгофа пригоден для расчета сложных цепей с несколькими источниками сигнала.

Расчет начинается с задания обозначений и положительных направлений токов и напряжений для каждого элемента (сопротивления) цепи.

Система уравнений включает в себя подсистему компонентных уравнений, связывающих по закону Ома токи и напряжения в каждом элементе (сопротивлении) и подсистему топологических уравнений, построенную на основе первого и второго законов Кирхгофа.

Рассмотрим расчет простой цепи из предыдущего примера, показанной на рис. 3.1, при тех же исходных данных.

Подсистема компонентных уравнений имеет вид.

(3.4).

В цепи имеется два узла () и две ветви, не содержащие идеальных источников тока (). Следовательно, необходимо записать одно уравнение () по первому закону Кирхгофа,.

(3.5).

и одно уравнение второго закона Кирхгофа (),.

(3.6).

которые и образуют подсистему топологических уравнений.

Уравнения (3.4)-(3.6) являются полной системой уравнений цепи. Подставляя (3.4) в (3.6), получим.

(3.7).

а, объединив (3.5) и (3.7), получим два уравнения с двумя неизвестными токами ветвей,.

(3.8).

Выражая из первого уравнения (3.8) ток и подставляя его во второе, найдем значение тока ,.

А, (3.9).

а затем найдем А.

По вычисленным токам ветвей из компонентных уравнений (3.4) определим напряжения. Результаты расчета совпадают с полученными ранее в подразделе 3.2.

Рассмотрим более сложный пример расчета цепи в схеме, показанной на рис. 3.2, с параметрами Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, Ом, В, А.

Цепь содержит узла (их номера указаны в кружках) и ветвей, не содержащих идеальные источники тока. Система компонентных уравнений цепи имеет вид Рис. 3.2.

(3.10).

По первому закону Кирхгофа необходимо записать уравнения (узел 0 не используется),.

(3.11).

По второму закону Кирхгофа составляется уравнения для трех независимых контуров, отмеченных на схеме окружностями со стрелками (внутри указаны номера контуров),.

(3.12).

Подставляя (3.11) в (3.13), совместно с (3.12) получим систему шести уравнений вида.

(3.13).

Из второго и третьего уравнений выразим.

(3.14).

а из первого.

.

тогда подставив и, получим.

.

Подставляя токи, и в уравнения второго закона Кирхгофа, запишем систему из трех уравнений которую после приведения подобных запишем в виде.

(3.15).

Обозначим.

(3.16).

и из третьего уравнения системы (3.15) запишем.

. (3.17).

Подставляя полученное значение в первые два уравнения (3.15), получим систему из двух уравнений вида.

(3.18).

Из второго уравнения (3.18) получим.

(3.19).

тогда из первого уравнения найдем ток.

. (3.20).

Вычислив, из (3.19) найдем, из (3.17) вычислим, а затем из уравнений подстановки найдем токи, , .

Как видно, аналитические вычисления достаточно громоздки, и для численных расчетов целесообразней использовать современные программные пакеты, например, MathCAD2001. Пример программы показан на рис. 3.3.

Матрица — столбец содержит значения токов А, А, А. Остальные токи вычисляются согласно уравнениям (3.14) и равны А, А, А. Вычисленные значения токов совпадают с полученными по приведенным выше формулам.

Общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа приводит к необходимости решения линейных алгебраических уравнений. При большом числе ветвей возникают математические и вычислительные трудности. Это означает, что целесообразно искать методы расчета, требующие составления и решения меньшего числа уравнений.

Рис. 3.3.