Прямые объединения.
Теорема Шмидта — — Орэ
При этом под возможностью замещения элемента a1 в разложении (16) некоторым сомножителем bi из разложения (17) следует понимать существование прямого разложения 1=bi*a2*…*ak, т. е., в силу (14), 1=bi*a1. (18). Продолжая так далее, мы придем к прямому разложению Откуда k? l. Сопоставляя с прямым разложением (17), мы получаем, что на самом деле k=l и что прямые разложения (16) и (17) прямо подобны… Читать ещё >
Прямые объединения. Теорема Шмидта — — Орэ (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Нашей целью является доказательство следующей теоремы [О. Ю. Шмидт, МаШ. 2еИзспг. 29A928), 34—41; Орэ, Апп. о МаШ. 37A936), 265—292]:
В дедекиндовой структуре 8, обладающей главными рядами, любые два разложения единичного элемента в прямое объединение неразложимых элементов прямо подобны.
Эта теорема вытекает, впрочем, из следующей теоремы:
Если в дедекиндовой структуре 8, обладающей главными рядами, даны два любых разложения единичного элемента в прямое объединение неразложимых элементов, то всякий сомножитель любого из этих разложений может быть замещен некоторым сомножителем из другого разложения.
При этом под возможностью замещения элемента a1 в разложении (16) некоторым сомножителем bi из разложения (17) следует понимать существование прямого разложения 1=bi*a2*…*ak, т. е., в силу (14), 1=bi*a1. (18).
Первая из указанных теорем действительно вытекает из второй. В самом деле, если элемент bi в (17) замещает элемент в (16), то, как показывают равенства (14) (для i=1) и (18), элементы a1 и bi прямо подобны в S. Пусть уже построено прямое разложение.
Где 1? m.
Следует.
Продолжая так далее, мы придем к прямому разложению Откуда k? l. Сопоставляя с прямым разложением (17), мы получаем, что на самом деле k=l и что прямые разложения (16) и (17) прямо подобны.