Определение плотности распределения
Непрерывную случайную величину можно задать также плотностью распределения вероятности (дифференциальной функции).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию — первую производную от функции распределения.
Из определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Замечание. Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. Вычисление основано на теореме.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до .
.
Доказательство. Используем соотношение По формуле Ньютона-Лейбница,.
.
Таким образом.
.
Так как-то.
.
Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью кривой распределения и прямой и.
Пример. Задана плотность вероятности случайной величины.
Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).
Решение. Искомая вероятность.
