Постановка задачи согласования интересов субъектов социального партнерства как дифференциальной игры в нормальной форме

В исходной модели рассматривается социальное партнерство между тремя субъектами управления — преподаватель ВУЗа (В), работодатель (Р), студент ©. Сначала предполагается, что стремящиеся к максимизации своего выигрыша субъекты равноправны и принимают решения одновременно и независимо. Дифференциально-игровая модель имеет вид:

(1).

(2).

. (3).

В представленной модели согласования общественных и частных интересов (СОЧИ-модели) считается, что каждый субъект из множества распределяет свой бюджет между двумя направлениями: доля (управление игрока) ассигнуется на повышение уровня профессиональной подготовки студентов, а оставшаяся часть используется для финансирования частной деятельности, не связанной с образованием. Соответственно, текущий выигрыш игрока складывается из доходов от частной деятельности и полезности от уровня профессиональной подготовки студентов (доли от выигрыша общества). Итак, в модели (1) — (3) — вогнутая возрастающая функция переменной z, отражающая доходы субъектов от частной деятельности; - уровень профессиональной подготовки студентов (переменная состояния); - вогнутая возрастающая функция, дающая финансовое выражение общественной полезности от уровня профессиональной подготовки; - доля субъекта в этой полезности; - убывающая функция, отражающая снижение уровня подготовки при отсутствии инвестиций; - возрастающая функция инвестиций субъектов в профессиональную подготовку студентов.

Для аналитического исследования рассмотрена линейная по состоянию [7] упрощенная версия СОЧИ-модели (1) — (3), которая имеет вид.

(4).

(5).

. (6).

В (4) — (6) по сравнению с моделью (1) — (3) используются линейная функция, где — коэффициент перевода уровня профессиональной подготовки в общественную полезность, и линейная функция, что делает модель линейной по состоянию. Далее, для простоты используется линейная функция, где — доля вклада инвестиций игрока в повышение уровня подготовки, и степенная функция дохода от частной деятельности .

Для решения игры (4) — (6) применим принцип максимума Понтрягина. Функция Гамильтонаго игрока имеет вид [7].

.

Из условия с учетом неотрицательности находим.

(7).

Сопряженная переменная вычисляется по формуле.

. (8).

В силу свойств модели (4) — (6) соотношения (7) с учетом (8) действительно образуют равновесие Нэша в этой модели. Соответствующая равновесная траектория есть.

. (9).

Теперь рассмотрим кооперативную модель, когда все субъекты объединяются и совместно максимизируют суммарный функционал выигрыша.

(10).

(с учетом условия) по всем управлениям (5) в силу уравнения динамики (6). В этом случае получаем Парето-оптимальное решение, где.

; (11).

. (12).

Оптимальная кооперативная траектория есть (9) в силу (11) — (12).