Определим токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов

Для этого пронумеруем узлы схемы, примем потенциал одного из них равным нулю, (то есть заземлим этот узел), и зададимся условными положительными направлениями токов в ветвях.

Составим, на основе первого закона Кирхгофа, систему уравнений для расчёта потенциалов других узлов цепи (ц1, ц2, ц3):

ц1G11 + ц2G12 + ц3G13 = J1;

ц1G21 + ц2G22 + ц3G23 = J2;

ц1G31 + ц2G32 + ц3G33 = J3,.

где G11, G22, G33 — собственные проводимости узлов, G12, G21, G13, G31, G23, G32 — взаимные проводимости узлов, J1, J2, J3 — узловые токи.

По известным исходным данным рассчитаем эти величины:

G11 = 1/R1 +1/R5 +1/R6 = 0,31 См;

G22 = 1/R2 +1/R3 +1/R6 = 0,241 См;

G33 = 1/R3 +1/R4 +1/R5 = 0,262 См;

G12 = G21 = - 1/R6 = - 0,1 См;

G13 = G31 = - 1/R5 = - 0,143 См;

G23 = G32 = - 1/R3 = - 0,091 См;

J1 = 0 А;

J2 = - E'2/R2 — E3/R3 = - 1,327 A;

J3 = - E3/R3 = - 0,727 A.

Подставив рассчитанные значения собственных и взаимных проводимостей узлов и значения J1, J2, J3, решим систему:

• 0,31 ц1 — 0,1 ц2 — 0,143 ц3 = 0;
• — 0,1 ц1 + 0,241 ц2 — 0,091 ц3 = - 1,327;
• — 0,143 ц1 — 0,091 ц2 + 0,262 ц3 = - 0,727;

Решая систему по формулам Крамера, получим значения ц1, ц2, ц3:

Д = 0,0069;

Д1= - 0,02; ц1= Д1/Д= - 2,9 В;

Д2= - 0,05; ц2= Д2/Д= - 7,25 В;

Д3= - 0,0094; ц3= Д3/Д= - 1,36 В.

Вычислим значения токов в ветвях по найденным потенциалам узлов, заданным условными положительными направлениями токов, но основании закона Ома:

I1 = (ц1 — ц4) / R1 = - 0,193 A;

I2= (ц2 — ц4 + E'2) / R2= 0,238 A;

I3 = (ц3 — ц2 — E3) / R3 = - 0,192 A;

I4 = (ц4 — ц3) / R4 = 0,038 A;

I5 = (ц1 — ц3) / R5 = - 0,22 A;

I6 = (ц2 — ц1)/R6 = - 0,435 A.

Выполним проверку расчёта по 1 закону Кирхгофа:

Для узла 1: I6 — I1 — I5 = 0; А;

Для узла 2: I3 — I2 — I6 = 0; А;

Для узла 3: I4 — I3 + I5 = 0; А;

Результаты расчётов токов, проведённые двумя методами, сводим в таблицу и рассчитываем погрешность.

Таблица 2 — Сравнение токов.

Относительную погрешность рассчитываем по формуле где, А — значение тока, вычисленное методом контурных токов, А1 — значение тока, вычисленное методом узловых потенциалов.