Аналитическая геометрия. 
Аналитическая геометрия

Линии на плоскости

Пусть х и у — две произвольные переменные.

Определение: Соотношение вида F (x, y) =0 называется уравнением, если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример: 2х + 7у — 1 = 0, х² + y^2 — 25 = 0.

Если равенство F (x, y) =0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F (x, y) = 0 — тождество.

Пример: (х + у) ^2 — х^2 — 2ху — у² = 0.

Говорят, что числа х₀ и у₀ удовлетворяют уравнению, если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение: Уравнением данной линии называется уравнение F (x, y) =0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f (x), называется графиком функции f (x). Переменные х и у — называются текущими координатами, т.к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

• 1) х — у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:
• 2) х^2 — у² = 0 => (х-у) (х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х — у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:
• 3) х² + у² = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О (0,0).
• 4) с=а cosи. Это уравнение задает окружность, имеющую радиус-вектор, наклоненный под углом к оси Ох.

Предметом изучения аналитической геометрии являются алгебраические линии — это такие линии, которые в декартовой прямоугольной системе координат определяются уравнением вида: .

Примеры: Ах+Ву+С=0,Ах²+Ву²+Сху+Dх+Еу+F=0.

Уравнение Ах+Ву+С=0 — общее уравнение первой степени.

Примеры неалгебраических линий: y — sinx = 0, А^х + В^у + С = 0.

Определение: Линия, определяемая в декартовой системе координат алгебраическим уравнением n-ой степени, называется линией n-ого порядка.

Теорема: Если в декартовой системе координат линия определяется уравнением n-ой степени, то в другой декартовой системе координат она также определяется уравнением n-ой степени, т. е. порядок линии не зависит от выбора системы координат.