Метод вязкого решения в задаче синтеза управлений

Состояние проблемы

Предложим, что метод поиска вектора, основанный на применении метода алгоритмического конструирования. Прежде всего, следует отметить, что уравнение Гамильтона-Якоби-Айзекса (1.2.2) определяет динамическое соответствие вектор-функции вектору состояния системы. Другими словами, это уравнение в каждый момент времени ставит в соответствие функцию, определяющую управление, состоянию системы .

Определим функцию (1.1.4) в виде.

(2.1.1).

где функция определяется решением уравнения.

. (2.1.2).

Не трудно видеть, что .

Таким образом, исходная система (1.1.1) с управлениями.

, (2.1.3).

принимает вид.

(2.1.4).

Благодаря прогрессированию выпуклого и негладкого анализа в 1970;е гг. стало возможным применение к исследованию обобщенных решений уравнений в частных производных новейших результатов и методов, опирающихся на обобщенные понятия дифференцируемости. В начале 1980;х гг. М. Крэндалл и П. Л. Лионс ввели понятие вязкостного решения (viscosity solution). Положим одно из равносильных определений вязкостного решения.

Определение. Верхним вязкостным решением уравнения.

(2.1.5).

называют непрерывную функцию, удовлетворяющую следующему условию: если разность функций достигает локального минимума в точке и в этой точке функция дифференцируема, тогда должно быть выполнено неравенство.

(2.1.6).

Нижним вязкостным решением уравнения (2.1.5) называют непрерывную функцию, удовлетворяющую следующему условию: если разность функций достигает локального максимума в точке и в этой точке функция дифференцируема, тогда должно быть выполнено неравенство.

(2.1.7).

Вязкостным решением называют функцию, которая одновременно является верхним и нижним решением, т. е. при выполнении следующего условия (2.1.5) или.

(2.1.8).