Метод Самуэльсона. 
Приближенные методы вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц линейных операторов в конечномерном линейном пространстве

Запишем матрицу, А в виде, А = =.

И пусть характеристические многочлены матриц, А и М имеют вид.

F () — (-1)n [n + p1n-1 +…= pn-1 + pn].

() = (-1)n-1 [n-1 + q1n-2 + …+ qn-2 + qn-1].

Между коэффициентами рi и qi имеют место следующие соотношения.

Эти соотношения можно получить, например, следующим образом. Запишем матрицу С (), присоединенную к, А — Jn1 в виде :

С () = .

Условие.

C () = = f () Jn даст.

отсюда gn-1()=- ()R (M-Jn-1)-1 и.

()(a11-) — ()R (M-Jn-1)-1S= f ().

Применим теперь для отыскания коэффициентов gi метод Крылова, взяв за начальный вектор R|. Получим систему уравнений.

M|n-1R| + q1M|n-2R| + …+ qn-1R| = 0.

Так как коэффициенты pi являются линейными комбинациями gi, то их можно определить (не находя gi) по схеме Гаусса без обратного хода. Это и осуществляет метод Сaмуэльсона.

Интерполяционный метод

Для интерполяционного метода специальный вид определителя, дающего характеристический многочлен, не имеет значения. Поэтому рассматривают произвольный определитель, элементы которого являются многочленами от :

F () = (1).

Пусть степень многочлена f () равна m. Вычислим этот определитель при каких-либо m+1 различных значениях i и построим соответствующий интерполяционный многочлен. Это интерполяционный многочлен будет совпадать с f (). Теоретически метод совершенно прост. Практически он может потребовать выполнения большого числа операций.

Сравнение некоторых методов раскрытия характеристического многочлена

Приведем сравнительную таблицу, в которой указаны количества действий, требуемых некоторыми из рассмотренных методов, в зависимости от порядка определителя.

Из этой таблицы видно, что для раскрытия характеристического многочлена порядка выше пятого наиболее выгодным, с точки зрения количества операций, является метод А. М. Данилевского.