Необходимое условие сходимости ряда

Теорема (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то = 0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство =S, так как при n и (n-1).Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем — = =u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если u_n?0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд расходится, так как.

u_n=.

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд.

расходится, хотя u_n=.

Критерий Коши сходимости ряда

Для того, что бы ряд, сходился, необходимо и достаточно, что бы для любого существовал такой номер N=N (, что при любом n и любом целом p выполнялось неравенство:

| - | = | + + … + |.

Последовательность частных сумм ряда сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть что равносильно условию (2) так как — = + … +.

Гармонический ряд, доказательство расходимости

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны.

Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда. Его обозначают.

Гармонический ряд является исторически первым примером численного ряда, члены которого неограниченно убывают и который, несмотря на это, расходится, т. е. для которого.

Расходимость его была доказана Лейбницем в 1678 г. Название ряда объясняется тем, что каждые три последовательных его члена, начиная со второго, un-1, un, un+1, удовлетворяют одному и тому же правилу: средний член связан с крайними равенством.

Подобная зависимость чисел называют гармоническим делением или золотым сечением.

В курсе математического анализа гармонический ряд является основным и играет не менее значительную роль, чем убывающая геометрическая последовательность.