Элементы тензорного анализа

Закон преобразования компонент радиус-вектора при ортогональном преобразовании декартовой системы координат имеет тот же вид, что и закон преобразования любого вектора (см. раздел 2):

Рассмотрим новые координаты как функции координат.

(т.е.), мы видим, что:

Матрица обратного преобразования определяется матричными элементами:

Поскольку матрица ортогональна, то.

таким образом, в случае ортогональных преобразований:

Теперь можно строго доказать, что частные производные скалярного поля в каждой точке пространства являются компонентами векторного поля. Компоненты градиента в новой системе координат равны:. При этом .

Переходя от новых координат, к исходным координатам получаем:

Итак, мы видим, что величины: в самом деле, преобразуются по закону преобразования векторных величин.

Аналогично доказывается, что многокомпонентные величины и, где — компоненты векторного поля, являются тензорами второго.

ранга. Тензор второго ранга в общем случае не является ни симметричным, ни антисимметричным тензором. Его, однако, можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

Антисимметричный тензор второго ранга имеет три отличные от нуля компоненты. Вследствие этого бывает удобно вместо тензора ввести псевдовектор, определенный равенством: .

Симметричный тензор удобно представить в виде суммы шарового тензора и симметричного тензора, имеющего нулевой след (тензора девиации):

Для тензорного поля N-го ранга справедлива обобщенная теорема Остроградского-Гаусса.

Задачи

7.1. Доказать, что многокомпонентная величина является симметричным тензором второго ранга.

• 7.2. Дан вектор. Доказать, что многокомпонентная величина является тензором второго ранга.
• 7.3 Показать, что, здесь .

7.4 Доказать, что тензор девиации имеет нулевой след: .

Решение задачи 7.4 Свернем тензор девиации по индексам i, j. Учитывая, что величина свертки единичного тензора, получим .

7.5 Векторное поле имеет компоненты:. Найти компоненты тензора девиации.

Решение задачи 7.5 Вычислим значения всех частных производных. Получим:, ,, ,, ,, ,. С учетом значения величины свертки, найдем компоненты тензора девиации.

7.6 Задано векторное поле в двумерном пространстве:. Найти компоненты тензора девиации в точках: a) x=1, y=2; b) x=0, y=1. Найти собственные значения и собственные векторы тензора девиации в этих точках.

Решение задачи 7.6 В двумерном пространстве тензор девиации имеет вид:

.

Индексы i, j в данном случае принимают значения только 1 и 2. След единичного тензора, отсюда следует что. Вычислим значения всех частных производных. Получим:, ,,. Свертка .

Компоненты тензора девиации. В точке с координатами компоненты,. Собственные значения данного тензора находим как корни уравнения, или, отсюда .

Подставив поочередно найденные собственные значения в уравнение, определяющее компоненты собственных векторов,, найдем. Собственные векторы находятся с точностью до общего множителя, поэтому можно задать значение компоненты, что дает значение компоненты. Итого, векторы с компонентами.

являются собственными векторами тензора девиации в заданной точке двумерного пространства и принадлежат собственным значениям, соответственно.

7.7 Доказать обобщенную теорему Остроградского-Гаусса для тензорного поля N-го ранга.

Указание: Умножить обе части равенства (7.1) на произвольный постоянный тензор ранга (N-1) и выполнить свертку по индексам .