Полная индукция в процессе обучения алгебре

Познавательная роль полной индукции проявляется в формировании нового знания о классе или роде явлений. Логический перенос признака с отдельных предметов на класс в целом не является простым суммированием. Знание о классе или роде — это обобщение, представляющее собой новую ступень в развитии знания.

Демонстративность полной индукции позволяет использовать этот вид умозаключения в доказательном рассуждении.

Пример 1. индуктивный обучение математический дедуктивный Доказать, что при 5? n?10 справедливо равенство.

Доказательство:

Для n=5 утверждение верно.

Для n=6 утверждение верно Для n=7 утверждение верно Для n=8 утверждение верно Для n=9 утверждение верно.

Для n=10 утверждение верно. Следовательно, утверждение доказано.

Применимость полной индукции в рассуждениях определяется практической перечислимостью множества явлений. Если невозможно охватить весь класс предметов, то обобщение строится в форме неполной индукции.

Неполная индукция в процессе обучения алгебре

Неполная индукция — это умозаключение, в котором на основе принадлежности признака некоторым элементам или частям класса делают вывод о его принадлежности классу в целом.

Неполнота индуктивного обобщения выражается в том, что исследуют не все, а лишь некоторые элементы или части класса — от S₁ до S. Логический переход в неполной индукции от некоторых ко всем элементам или частям класса не является произвольным. Он оправдывается эмпирическими основаниями — объективной зависимостью между всеобщим характером признаков и устойчивой их повторяемостью в опыте для определенного рода явлений. Отсюда широкое использование неполной индукции в практике.

Пример 1.

Доказать, что для первых 10 натуральных n:

Доказательство. Рассмотрим выполнимость данного равенства для первых натуральных n:

Для n=2 утверждение верно.

Для n=3 утверждение верно.

Для n=4 утверждение верно.

Для n=5 утверждение верно.

Для n=6 утверждение верно.

Для n=7 утверждение верно.

Для n=8 утверждение верно.

Для n=9 утверждение верно.

Для n=10 утверждение верно. Утверждение доказано.

Можно предположить, что равенство.

справедливо при любом натуральном n.

Тем самым для неполной индукции характерно ослабленное логическое следование — истинные посылки обеспечивают получение не достоверного, а лишь проблематичного заключения. При этом обнаружение хотя бы одного случая, противоречащего обобщению, делает индуктивный вывод несостоятельным.

Существенное влияние на характер логического следования в выводах неполной индукции оказывает способ отбора исходного материала, который проявляется в методичности или систематичности формирования посылок индуктивного умозаключения. По способу отбора различают два вида неполной индукции:

• — индукцию путем перечисления, получившую название популярной индукции.
• — индукцию путем отбора, которую называют научной индукцией.

Пример 2.

Сравните числа.

• 3²•3⁴ и 3⁶
• 2•2⁴ и 2⁵
• 4²•4³ и 4⁵
• 5•5² и 5³

Решение.

• 3²•3⁴=3•3•3•3•3•3=729, 3⁶=3•3•3•3•3•3=729
• 3²•3⁴ = 3⁶
• 2•2⁴=2•2•2•2•2=32, 2⁵=2•2•2•2•2=32
• 2•2⁴ =2⁵
• 4²•4³=4•4•4•4•4=1024, 4⁵=4•4•4•4•4=1024
• 4²•4³=4⁵
• 5•5²=5•5•5=125, 5³=5•5•5•=125
• 5•5²=5³

Все выражения соответственно равны. Это позволяет сделать предположение, что для любого натурального n и m верно равенство:

aⁿ•a^m=a^m+n

Справедливость этого равенства нуждается в доказательстве.