Сравнение выравнивающих функций дли распределений тяювых нагрузок

Рассмотрим некоторые особенности неполной гамма-функции и проведем сравнение с другими предложенными ранее выравнивающими зависимостями. Определим положение «моды» гамма-распределения в зависимости от параметра «/-». Применительно к распределениям нагрузок «мода» есть относительное значение тока /*_мд, соответствующее максимуму плотности вероятностей. Отсюда величину /,_мд можно найти, приравняв первую производную от функции (9.57) к нулю.

После дифференцирования (9.57) можно записать, что.

а отсюда имеем.

При r= 1, /, =0, что отвечает экспоненциальной функции, а при г—*со,.

/,_мл —> I — это соответствует функции нормальною распределения, для которой всегда /"_мд = 1.

Для более полной характеристики кривых гамма-распределения определим третий Нз и четвертой р₄ цетральные моменты. Для р₃ можно записать:

После интегрирования получим.

Аналогично для р₄ запишем:

Здесь также после операции интегрирования имеем.

Из выражений (9.79) и (9.81) для характеристики асимметрии S_k и эксцесса Е_к легко получить.

Таким образом, кривые плотности вероятностей гамма-распределения имеют всегда положительные асимметрию и эксцесс, убывающие с ростом параметра г.

Поскольку центральные моменты неполной гамма-функции определяются лишь двумя параметрами, то представляется возможность перейти к рассмотрению распределений Пирсона, как обобщенной формы большого числа других типов распределений [65]. Однако следует подчеркнуть различие в использовании неполной гамма-функции и распределений Пирсона. Оно заключается в том, что в первом случае необходимо знание лишь первых двух моментов, а во втором — надо иметь также моменты порядка выше двух или крайние члены статистического ряда [58, 65]. Из приведенного выше рассмотрения ясно, что это различие весьма существенно.

Согласно [77] тип распределений Пирсона определяется по критерию Н, который после преобразований можно записать так:

Из (9.84) ясно, что определение только вида кривых Пирсона требует знания 3-го и 4-го основных моментов.

После подстановок (9.80) и (9.81) в выражение (9.84) имеем Н = оо. Из этого следует, что распределения Пирсона III типа совпадают с неполной гамма-функцией. Функция плотности вероятностей распределений Пирсона III типа имеет вид.

где фшо, /, Р — параметры, определяемые по первым трем моментам статистического ряда.

Если использовать приведенные выше выражения для моментов гаммараспределения, то параметры функции ф_ш(х) можно определить по формулам.

После подстановок (9.85) в (9.86) получим.

что непосредственно совпадает с приведенной выше зависимостью (9.58). Однако преимущества в использовании гамма-распределения в сравнении с кривыми Пирсона III типа очевидны.

В работе [36] показано, что функция j (x, m) имеет разложение в ряд по полиномам Чебышёва-Эрмита. На основе приведенных выражений для основных моментов неполной гамма-функции можно непосредственно производить вычисления плотности вероятностей при использовании ряда Грамма-Шарлье. Если принять математическое ожидание случайной величины х, равным единице, то тогда X = г, и для известного [65] выражения этого ряда получим формулу.

Выражение (9.88) можно использовать для вычислений по формулам Шарлье плотности и значений вероятностей.

Таким образом, рассмотренная неполная гамма-функция является универсальной и определяется двумя параметрами. Эта выравнивающая функция в зависимости от значений дисперсии графика нагрузок может иметь свойства практически всех предложенных для этой цели зависимостей. В этом смысле гамма-распределение является обобщающим.