Лекция 14. Решение дифференциального уравнения теплопроводности Фурье при граничных условиях 3 рода

1. Определение температур нагрева металла.

Как мы отмечали ранее, при нестационарном тепловом состоянии с течением времени происходит изменение температуры тела, т. е.. Такое изменение температуры тела возможно, когда тело остывает или нагревается. На практике это широко распространенный процесс нагрева металла. Решение дифференциального уравнения теплопроводности совместно с граничными условиями представляет собой весьма сложную математическую задачу. Мы остановимся на решении при граничных условиях 3-го рода, получившем наибольшее практическое распространение. На практике часто встречаются печи, в которых нагрев металла происходит при неизменной температуре рабочего пространства. Некоторые печи с изменяющейся температурой по длине рабочего пространства можно условно разделить на расчетные участки с приближенно неизменной температурой в пределах каждого участка и к каждому из них применить решения, полученные при граничных условиях 3-го рода.

Решение дифференциального уравнения для удобства заменяют критериальным уравнением следующего вида:

(1).

Где — безразмерный температурный критерий;

Т₀ — температура среды печи;

Т_нач. и Т_кон. — температура нагреваемого тела соответственно начальная и конечная.

Из уравнения (1) видно, что температура нагрева металла Т зависит от трех безразмерных комплексов: критериев Фурье (F₀), Био (В_i) и безразмерного геометрического комплекса, определяющего собой местоположение точки в теле, для которой определяют температуру. Так, для центра нагреваемого тела x=0 и =0, для поверхности тела х=S и =1.

В зависимости от условий решения уравнения Т_кон может представлять собой как конечную температуру поверхности тела (при =1), так и конечную температуру в центре тела (при =0).

Таким образом, решая уравнение (1) для поверхности тела (=1), получаем температурный критерий:

а для центра (=0): .

F₀= - критерий Фурье.

Его физический смысл вытекает из того, что главным его членом является время. Поэтому критерий F₀ определяет собой время процесса и называется безразмерным временем.

Характер нагрева тел существенно зависит от критерия Вi. Решение уравнения (1) для пластины и цилиндра представлено в виде номограмм Д. В. Будрина в графическом виде.

2. Определение продолжительности нагрева металла.

Факторы, влияющие на продолжительность нагрева. Время нагрева металла необходимо для определения производительности печи, ее размеров и зависит от следующих факторов:

• · факторы, определяющие собой внешний теплообмен, т. е. теплоотдачу от печных газов и футеровки к поверхности металла: температура печи, температура металла в начале и конце периода нагрева, излучательная способность печных газов и футеровки, размеры рабочего пространства;
• · факторы, определяющие собой внутренний теплообмен, т. е. характеризующие теплоотдачу от поверхности металла внутрь его: теплопроводность, теплоемкость, толщина металла.

Определение времени нагрева тонкого тела при граничных условиях 3-го рода (t_печ=const).

Передача тепла к поверхности изделия может осуществляться конвекцией и излучением. Если преобладает конвективная теплоотдача, то справедливо уравнение Ньютона:; ккал, кДж. Тогда время нагрева металла определяют по уравнению:

с, где с — теплоемкость металла, Дж/(кгК);

М — масса находящегося в печи металла (садка), кг;

F — поверхность металла, воспринимающая тепло, м²;

— коэффициент теплоотдачи конвекцией к поверхности металла, Вт/(м²К);

t_печ — температура печи, ⁰С;

t_{м. нач} и t_{м. кон} — температура металла соответственно начальная и конечная, ⁰С.

Если преобладает передача тепла излучением и справедлив закон Стефана-Больцмана, время нагрева тонких тел следует определять по выражению:

с где С_пр — приведенный коэффициент излучения системы печь-металл, Вт/(м²К⁴).

Значение f₁ и f₂ можно выбирать из графика в справочной литературы.

Определение времени нагрева массивного тела при граничных условиях 3-го рода (t_печ=const).

Как показано выше, решение дифференциального уравнения теплопроводности для этих условий представляют в виде следующего критериального вида.

.

Решение этого уравнения для пластины и цилиндра представлено в виде номограмм Д. В. Будрина. Из этих номограмм для определения времени нагрева необходимо найти критерий.

F₀=.

Для этого предварительно необходимо найти температурный критерий.

и критерий Вi=. При определении значения Bi, а затем и времени нагрева из критерия F₀ необходимо правильно выбирать расчетную толщину нагреваемой заготовки. При двустороннем нагреве в качестве расчетной толщины принимают половину геометрической толщины. При одностороннем нагреве необходимо учитывать полную толщину заготовки.

Теплопроводность металла следует находить по средней его температуре за весь период его нагрева:

t_ср=0,5 (t_нач + t_кон).

По найденному значению из точки на ординате номограммы проводят горизонтальную линию до пересечения с линией Вi, соответствующей найденному его значению. Из полученной точки пересечения опускают перпендикуляр и на абсциссе находят искомое значение F₀. Затем из него определяют время нагрева.

.